媒介変数 $t$ で表された曲線 $C$: $x = t + \tan t$, $y = t^2 - t$ ($-\sqrt{3} \le t \le \sqrt{3}$) について、$t$ に関する $x, y$ の増減・極値を調べ、曲線 $C$ の概形を描き、特に曲線 $C$ と $x$ 軸との交点を求める。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された曲線 $C$: $x = t + \tan t$, $y = t^2 - t$ ($-\sqrt{3} \le t \le \sqrt{3}$) について、$t$ に関する $x, y$ の増減・極値を調べ、曲線 $C$ の概形を描き、特に曲線 $C$ と $x$ 軸との交点を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y$ の増減・極値を調べる。

$y = t^2 - t$ を $t$ で微分すると、

$\frac{dy}{dt} = 2t - 1$

$\frac{dy}{dt} = 0$ となるのは $t = \frac{1}{2}$ のとき。

$-\sqrt{3} \le t \le \sqrt{3}$ における増減表は以下のようになる。

| $t$ | $-\sqrt{3}$ | ... | $\frac{1}{2}$ | ... | $\sqrt{3}$ |

|---|---|---|---|---|---|

| $\frac{dy}{dt}$ | | - | 0 | + | |

| $y$ | $3 + \sqrt{3}$ | $\searrow$ | $-\frac{1}{4}$ | $\nearrow$ | $3 - \sqrt{3}$ |

よって、$t = \frac{1}{2}$ のとき極小値 $y = -\frac{1}{4}$ をとる。

(2) $x$ の増減を調べる。

$x = t + \tan t$ を $t$ で微分すると、

$\frac{dx}{dt} = 1 + \frac{1}{\cos^2 t} = 1 + \sec^2 t$

$-\sqrt{3} \le t \le \sqrt{3}$ において、$\frac{dx}{dt} > 0$ なので、$x$ は常に増加する。

(3) 曲線 $C$ と $x$ 軸との交点を求める。

$y = t^2 - t = 0$ となるのは $t = 0, 1$ のとき。

$t = 0$ のとき、$x = 0 + \tan 0 = 0$。

$t = 1$ のとき、$x = 1 + \tan 1$。

したがって、曲線 $C$ と $x$ 軸との交点は $(0, 0)$ と $(1 + \tan 1, 0)$。

(4) グラフの概形:

$t$ が $-\sqrt{3}$ から $\sqrt{3}$ まで増加するにつれて、$x$ は増加する。

$y$ は $t = \frac{1}{2}$ で極小値 $-\frac{1}{4}$ をとる。

3. 最終的な答え

$y$ の極小値: $t = \frac{1}{2}$ のとき $y = -\frac{1}{4}$

曲線 $C$ と $x$ 軸との交点: $(0, 0)$, $(1 + \tan 1, 0)$

増減表は上記の通り。

曲線 $C$ の概形は、$(-\sqrt{3} - \tan \sqrt{3}, 3 + \sqrt{3})$ から始まり、$(0, 0)$ を通り、$t = \frac{1}{2}$ で $y = -\frac{1}{4}$ となり、$(1 + \tan 1, 0)$ を通り、$(\sqrt{3} + \tan \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3})$ で終わる曲線。