(1) $\sin^{-1} \frac{1}{2}$ (2) $\cos^{-1} (-\frac{1}{2})$ (3) $\tan^{-1} \sqrt{3}$

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1. 問題の内容

与えられた数学の問題を解く。問題は以下の通りである。

1. 逆三角関数の値を求める。

(1) $\sin^{-1} \frac{1}{2}$

(2) $\cos^{-1} (-\frac{1}{2})$

(3) $\tan^{-1} \sqrt{3}$

2. 極限を計算する。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - x - 1}{x - 1}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \tan^{-1} x$

(3) $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x})^x$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{x}$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x}$

3. 次の関数の導関数を求める。

(1) $y = 3x^2 + \sqrt{x} + \frac{1}{x}$

(2) $y = x \cos^{-1} x - \sqrt{1 - x^2}$

(3) $y = \frac{\log x}{x}$

(4) $y = \sin^3 2x$

(5) $y = x^x$

4. 関数 $f(x) = e^{-x^2}$ について、次の問いに答えよ。

(1) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(1, f(1))$ における接線の方程式を求めよ。

(2) $f(x)$ の極値を求めよ。

5. 次の積分を計算せよ。

(1) $\int (2x + 1)^8 dx$

(2) $\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx$

(3) $\int \cos^2 x dx$

(4) $\int \tan^{-1} x dx$

(5) $\int \frac{2x + 1}{x^2 - 1} dx$

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2. 解き方の手順

1. **逆三角関数**:

(1) $\sin^{-1} \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$

(2) $\cos^{-1} (-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$

(3) $\tan^{-1} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$

2. **極限**:

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - x - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(2x + 1)(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (2x + 1) = 3$

(2) $\lim_{x \to \infty} \tan^{-1} x = \frac{\pi}{2}$

(3) $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x})^x = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{-1}{x})^x = e^{-1} = \frac{1}{e}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{4x} \cdot 4 = 1 \cdot 4 = 4$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x} = 1$ (ロピタルの定理または既知の極限)

3. **導関数**:

(1) $y = 3x^2 + \sqrt{x} + \frac{1}{x} = 3x^2 + x^{\frac{1}{2}} + x^{-1}$

$\frac{dy}{dx} = 6x + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - x^{-2} = 6x + \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$

(2) $y = x \cos^{-1} x - \sqrt{1 - x^2}$

$\frac{dy}{dx} = \cos^{-1} x + x \cdot (-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}) - \frac{1}{2}(1 - x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) = \cos^{-1} x - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \cos^{-1} x$

(3) $y = \frac{\log x}{x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

(4) $y = \sin^3 2x$

$\frac{dy}{dx} = 3 \sin^2 2x \cdot \cos 2x \cdot 2 = 6 \sin^2 2x \cos 2x$

(5) $y = x^x$

$\log y = x \log x$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

$\frac{dy}{dx} = y (\log x + 1) = x^x (\log x + 1)$

4. **関数 $f(x) = e^{-x^2}$**:

(1) $f(1) = e^{-1} = \frac{1}{e}$

$f'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$

$f'(1) = -2e^{-1} = -\frac{2}{e}$

接線の方程式: $y - \frac{1}{e} = -\frac{2}{e}(x - 1)$

$y = -\frac{2}{e}x + \frac{3}{e}$

(2) $f'(x) = -2xe^{-x^2} = 0$ より $x = 0$

$f''(x) = -2e^{-x^2} + (-2x)(-2xe^{-x^2}) = -2e^{-x^2} + 4x^2 e^{-x^2} = (4x^2 - 2)e^{-x^2}$

$f''(0) = -2e^0 = -2 < 0$ より、$x = 0$ で極大値 $f(0) = e^0 = 1$ をとる。

極値は $(0, 1)$

5. **積分**:

(1) $\int (2x + 1)^8 dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x + 1)^9}{9} + C = \frac{(2x + 1)^9}{18} + C$

(2) $\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx = \sin^{-1} \frac{x}{2} + C$

(3) $\int \cos^2 x dx = \int \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$

(4) $\int \tan^{-1} x dx = x \tan^{-1} x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log(1 + x^2) + C$

(5) $\int \frac{2x + 1}{x^2 - 1} dx = \int \frac{2x + 1}{(x - 1)(x + 1)} dx$

部分分数分解: $\frac{2x + 1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$

$2x + 1 = A(x + 1) + B(x - 1)$

$x = 1$ のとき $3 = 2A \Rightarrow A = \frac{3}{2}$

$x = -1$ のとき $-1 = -2B \Rightarrow B = \frac{1}{2}$

$\int \frac{2x + 1}{x^2 - 1} dx = \int (\frac{3}{2(x - 1)} + \frac{1}{2(x + 1)}) dx = \frac{3}{2} \log |x - 1| + \frac{1}{2} \log |x + 1| + C$

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3. 最終的な答え

1. (1) $\frac{\pi}{6}$ (2) $\frac{2\pi}{3}$ (3) $\frac{\pi}{3}$

2. (1) 3 (2) $\frac{\pi}{2}$ (3) $\frac{1}{e}$ (4) 4 (5) 1

3. (1) $6x + \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$ (2) $\cos^{-1} x$ (3) $\frac{1 - \log x}{x^2}$ (4) $6 \sin^2 2x \cos 2x$ (5) $x^x (\log x + 1)$

4. (1) $y = -\frac{2}{e}x + \frac{3}{e}$ (2) $(0, 1)$ で極大値 1

5. (1) $\frac{(2x + 1)^9}{18} + C$ (2) $\sin^{-1} \frac{x}{2} + C$ (3) $\frac{1}{2}x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$ (4) $x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log(1 + x^2) + C$ (5) $\frac{3}{2} \log |x - 1| + \frac{1}{2} \log |x + 1| + C$