曲線 $C: \begin{cases} x=2\cos t \\ y=\sin t \end{cases} (0 \le t \le \pi)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $C: \begin{cases} x=2\cos t \\ y=\sin t \end{cases} (0 \le t \le \pi)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

面積 $S$ は、積分を用いて求めることができる。$x = 2\cos t$ より $dx = -2\sin t dt$ である。$t$ が $0$ から $\pi$ まで変化するとき、$x$ は $2$ から $-2$ まで変化する。よって、$S$ は以下の積分で表される。

$S = \int_{-2}^{2} y dx = \int_{\pi}^{0} \sin t \cdot (-2\sin t) dt = 2 \int_{0}^{\pi} \sin^2 t dt$

ここで、$\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$ を用いると、

$S = 2 \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2t}{2} dt = \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2t) dt$

$S = \left[ t - \frac{1}{2} \sin 2t \right]_{0}^{\pi} = \left( \pi - \frac{1}{2} \sin 2\pi \right) - \left( 0 - \frac{1}{2} \sin 0 \right) = \pi - 0 - 0 + 0 = \pi$

3. 最終的な答え

$S = \pi$