曲線 $x = y^2$ と直線 $y = \frac{1}{2}(x-3)$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $x = y^2$ と直線 $y = \frac{1}{2}(x-3)$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、曲線と直線の交点の座標を求めます。

直線の式を $x$ について解くと、$x = 2y + 3$ となります。

これを曲線の式 $x = y^2$ に代入すると、

$y^2 = 2y + 3$

$y^2 - 2y - 3 = 0$

$(y - 3)(y + 1) = 0$

よって、$y = 3, -1$ です。

それぞれの $y$ の値に対応する $x$ の値を求めます。

$y = 3$ のとき、$x = 3^2 = 9$

$y = -1$ のとき、$x = (-1)^2 = 1$

したがって、交点の座標は $(9, 3)$ と $(1, -1)$ です。

面積を求めるには、$y$ について積分するのが簡単です。

$x = y^2$ と $x = 2y + 3$ で囲まれた部分の面積は、

$S = \int_{-1}^{3} (2y + 3 - y^2) dy$

$S = [y^2 + 3y - \frac{1}{3}y^3]_{-1}^{3}$

$S = (3^2 + 3(3) - \frac{1}{3}(3)^3) - ((-1)^2 + 3(-1) - \frac{1}{3}(-1)^3)$

$S = (9 + 9 - 9) - (1 - 3 + \frac{1}{3})$

$S = 9 - (-2 + \frac{1}{3})$

$S = 9 - (-\frac{5}{3})$

$S = 9 + \frac{5}{3}$

$S = \frac{27}{3} + \frac{5}{3}$

$S = \frac{32}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{32}{3}$