与えられた式 $1 + \left( \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right)^2$ を簡略化する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $1 + \left( \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right)^2$ を簡略化する問題です。

2. 解き方の手順

まず、二乗を展開します。

$\left( \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right)^2 = \frac{(e^x - e^{-x})^2}{2^2} = \frac{e^{2x} - 2e^x e^{-x} + e^{-2x}}{4} = \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4}$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$1 + \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{4 + e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4}$

分子は $(e^x + e^{-x})^2$ と書けるので、

$\frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{(e^x + e^{-x})^2}{4} = \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2$

3. 最終的な答え

$\left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2$