広義重積分 $\iint_I \frac{e^x}{x} dxdy$ を領域 $I = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \le y \le x \le 1\}$ で計算する問題です。

1. 問題の内容

広義重積分 $\iint_I \frac{e^x}{x} dxdy$ を領域 $I = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \le y \le x \le 1\}$ で計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分領域 $I$ を $0 \le y \le x$ かつ $x \le 1$ であることに注意して、積分順序を変更します。具体的には、$y$ について積分し、その結果を $x$ で積分します。

$\iint_I \frac{e^x}{x} dxdy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \frac{e^x}{x} dy dx$

まず、$y$ についての積分を実行します。

$\int_{0}^{x} \frac{e^x}{x} dy = \frac{e^x}{x} \int_{0}^{x} dy = \frac{e^x}{x} [y]_{0}^{x} = \frac{e^x}{x} (x - 0) = e^x$

次に、$x$ についての積分を実行します。

$\int_{0}^{1} e^x dx = [e^x]_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1$

3. 最終的な答え

$e - 1$