問題は、$x$ が0に近い値を取るとき、以下の2つの関数の1次近似式を求める問題です。 (1) $f(x) = \frac{1}{1+x}$ (2) $g(x) = \log(1+x)$

1. 問題の内容

問題は、$x$ が0に近い値を取るとき、以下の2つの関数の1次近似式を求める問題です。

(1) $f(x) = \frac{1}{1+x}$

(2) $g(x) = \log(1+x)$

2. 解き方の手順

一般に、関数 $f(x)$ の $x=a$ における1次近似式は、

$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$

で与えられます。 今回は、$x$ が0に近い場合なので、$a=0$ とします。

(1) $f(x) = \frac{1}{1+x}$ の場合

まず、$f(0)$ を計算します。

$f(0) = \frac{1}{1+0} = 1$

次に、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$

次に、$f'(0)$ を計算します。

$f'(0) = -\frac{1}{(1+0)^2} = -1$

したがって、$f(x)$ の $x=0$ における1次近似式は、

$f(x) \approx f(0) + f'(0)(x-0) = 1 - x$

(2) $g(x) = \log(1+x)$ の場合

まず、$g(0)$ を計算します。

$g(0) = \log(1+0) = \log(1) = 0$

次に、$g'(x)$ を計算します。

$g'(x) = \frac{1}{1+x}$

次に、$g'(0)$ を計算します。

$g'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$

したがって、$g(x)$ の $x=0$ における1次近似式は、

$g(x) \approx g(0) + g'(0)(x-0) = 0 + 1 \cdot x = x$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{1+x} \approx 1-x$

(2) $\log(1+x) \approx x$