与えられた2変数関数の極限を求める問題です。 (1) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ (2) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - 2y^2}{2x^2 + y^2}$

## 問題の回答

1. 問題の内容

与えられた2変数関数の極限を求める問題です。

(1) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

(2) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - 2y^2}{2x^2 + y^2}$

2. 解き方の手順

(1)

極座標変換 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ を用います。このとき、$(x, y) \to (0, 0)$ は $r \to 0$ に対応します。

$\frac{x^2 - y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{r^2\cos^2\theta - r^2\sin^2\theta}{\sqrt{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta}} = \frac{r^2(\cos^2\theta - \sin^2\theta)}{\sqrt{r^2}} = \frac{r^2(\cos^2\theta - \sin^2\theta)}{r} = r(\cos^2\theta - \sin^2\theta)$

したがって、

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \lim_{r \to 0} r(\cos^2\theta - \sin^2\theta)$

ここで、$|\cos^2\theta - \sin^2\theta| \le 1$ であるため、

$\lim_{r \to 0} r(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = 0$

となります。

(2)

異なる経路から原点に近づくことで極限が存在しないことを示します。

まず、$y = mx$ に沿って原点に近づくことを考えます。

$\frac{x^2 - 2y^2}{2x^2 + y^2} = \frac{x^2 - 2(mx)^2}{2x^2 + (mx)^2} = \frac{x^2(1 - 2m^2)}{x^2(2 + m^2)} = \frac{1 - 2m^2}{2 + m^2}$

この極限は $m$ に依存するため、異なる経路に沿って原点に近づくと異なる値に収束します。

例えば、$m = 0$ のとき、$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$ となります。

一方、$m = 1$ のとき、$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 2x^2}{2x^2 + x^2} = \frac{-x^2}{3x^2} = -\frac{1}{3}$ となります。

したがって、極限は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 極限は存在しない