$\lim_{x \to \infty} 2x \sin\frac{1}{x} \cos\frac{1}{x}$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} 2x \sin\frac{1}{x} \cos\frac{1}{x}$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、$y = \frac{1}{x}$ と置換します。$x \to \infty$ のとき、$y \to 0$ となります。したがって、与えられた極限は次のように書き換えられます。

$\lim_{y \to 0} \frac{2}{y} \sin y \cos y$

ここで、三角関数の倍角公式 $2\sin y \cos y = \sin 2y$ を利用します。

$\lim_{y \to 0} \frac{\sin 2y}{y}$

さらに、$\frac{\sin ay}{y}$ の極限は $\lim_{y \to 0} \frac{\sin ay}{ay} \cdot a = a$ となることを利用します。つまり、

$\lim_{y \to 0} \frac{\sin 2y}{y} = \lim_{y \to 0} \frac{\sin 2y}{2y} \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$

3. 最終的な答え

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