関数 $f(x) = 1 + x + x^2 + e^{-x}$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) $f(x)$ の3階導関数までを求めます。 (2) $f(x)$ を $x^3$ の項までマクローリン展開します (剰余項は計算しなくてもよい)。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 1 + x + x^2 + e^{-x}$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) $f(x)$ の3階導関数までを求めます。

(2) $f(x)$ を $x^3$ の項までマクローリン展開します (剰余項は計算しなくてもよい)。

2. 解き方の手順

(1) 3階導関数を求める

まず、$f(x)$ の導関数を順に計算します。

1階導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(1 + x + x^2 + e^{-x}) = 1 + 2x - e^{-x}$

2階導関数 $f''(x)$ を求めます。

$f''(x) = \frac{d}{dx}(1 + 2x - e^{-x}) = 2 + e^{-x}$

3階導関数 $f'''(x)$ を求めます。

$f'''(x) = \frac{d}{dx}(2 + e^{-x}) = -e^{-x}$

(2) マクローリン展開を求める

$f(x)$ のマクローリン展開は以下の式で与えられます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

$f(x) = 1 + x + x^2 + e^{-x}$ より、 $f(0) = 1 + 0 + 0 + e^0 = 1 + 1 = 2$

$f'(x) = 1 + 2x - e^{-x}$ より、 $f'(0) = 1 + 2(0) - e^0 = 1 - 1 = 0$

$f''(x) = 2 + e^{-x}$ より、 $f''(0) = 2 + e^0 = 2 + 1 = 3$

$f'''(x) = -e^{-x}$ より、 $f'''(0) = -e^0 = -1$

したがって、$x^3$ の項までのマクローリン展開は、

$f(x) \approx 2 + 0 \cdot x + \frac{3}{2}x^2 + \frac{-1}{6}x^3 = 2 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{6}x^3$

3. 最終的な答え

(1)

$f'(x) = 1 + 2x - e^{-x}$

$f''(x) = 2 + e^{-x}$

$f'''(x) = -e^{-x}$

(2)

$f(x) \approx 2 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{6}x^3$