1. 逆三角関数の値を求める問題。 2. 極限値を求める問題。 3. 関数の導関数を求める問題。 4. 関数 $f(x) = e^{-x^2}$ について、与えられた点における接線の方程式と極値を求める問題。 5. 積分を計算する問題。

## 解答

1. **問題の内容**

1. 逆三角関数の値を求める問題。

2. 極限値を求める問題。

3. 関数の導関数を求める問題。

4. 関数 $f(x) = e^{-x^2}$ について、与えられた点における接線の方程式と極値を求める問題。

5. 積分を計算する問題。

2. **解き方の手順**

**(1) 逆三角関数の計算**

* (1) $\sin^{-1} \frac{1}{2}$: $\sin \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ を探す。主値の範囲は $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ である。したがって、$\theta = \frac{\pi}{6}$。

* (2) $\cos^{-1} (-\frac{1}{2})$: $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ を探す。主値の範囲は $[0, \pi]$ である。したがって、$\theta = \frac{2\pi}{3}$。

* (3) $\tan^{-1} \sqrt{3}$: $\tan \theta = \sqrt{3}$ となる $\theta$ を探す。主値の範囲は $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ である。したがって、$\theta = \frac{\pi}{3}$。

**(2) 極限の計算**

* (1) $\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - x - 1}{x - 1}$: 分子を因数分解すると $2x^2 - x - 1 = (2x + 1)(x - 1)$。よって、$\lim_{x \to 1} \frac{(2x + 1)(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (2x + 1) = 2(1) + 1 = 3$。

* (2) $\lim_{x \to \infty} \tan^{-1} x$: $x$ が無限大に近づくとき、$\tan^{-1} x$ は $\frac{\pi}{2}$ に近づく。したがって、$\lim_{x \to \infty} \tan^{-1} x = \frac{\pi}{2}$。

* (3) $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x})^x$: この極限は $e$ の定義に関連する。$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x = e^a$。したがって、$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x})^x = e^{-1} = \frac{1}{e}$。

* (4) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{x}$: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用する。$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{4x} \cdot 4 = 1 \cdot 4 = 4$。

* (5) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x}$: ロピタルの定理を適用すると、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}}{1} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0^2}} = 1$。

**(3) 導関数の計算**

* (1) $y = 3x^2 + \sqrt{x} + \frac{1}{x} = 3x^2 + x^{\frac{1}{2}} + x^{-1}$。導関数は $y' = 6x + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - x^{-2} = 6x + \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$。

* (2) $y = x \cos^{-1} x - \sqrt{1 - x^2}$。積の微分法と合成関数の微分法を用いる。

$y' = \cos^{-1} x + x \cdot \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = \cos^{-1} x - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \cos^{-1} x$。

* (3) $y = \frac{\log x}{x}$。商の微分法を用いる。

$y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$。

* (4) $y = \sin^3 2x$。合成関数の微分法を用いる。

$y' = 3 \sin^2 2x \cdot \cos 2x \cdot 2 = 6 \sin^2 2x \cos 2x$。

* (5) $y = x^x$。両辺の対数を取る。$\log y = x \log x$。両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{y'}{y} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$。よって、$y' = y(\log x + 1) = x^x (\log x + 1)$。

**(4) 関数 $f(x) = e^{-x^2}$ について**

* (1) $f(x) = e^{-x^2}$ の導関数は $f'(x) = -2xe^{-x^2}$。点 $(1, f(1)) = (1, e^{-1})$ における接線の傾きは $f'(1) = -2(1)e^{-1} = -2e^{-1}$。接線の方程式は $y - e^{-1} = -2e^{-1}(x - 1)$。すなわち、$y = -2e^{-1}x + 3e^{-1}$。

* (2) 極値を求めるために、$f'(x) = 0$ を解く。$-2xe^{-x^2} = 0$ より、$x = 0$。$f''(x) = -2e^{-x^2} + 4x^2e^{-x^2}$。$f''(0) = -2e^0 = -2 < 0$ なので、$x = 0$ で極大値をとる。極大値は $f(0) = e^{-0^2} = e^0 = 1$。

**(5) 定積分の計算**

* (1) $\int (2x + 1)^8 dx$: $u = 2x + 1$ と置換すると、$du = 2 dx$。したがって、$\frac{1}{2} \int u^8 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^9}{9} + C = \frac{(2x + 1)^9}{18} + C$。

* (2) $\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{2^2 - x^2}} dx$: $\sin^{-1} \frac{x}{2} + C$

* (3) $\int \cos^2 x dx = \int \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos 2x) dx = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2}\sin 2x) + C = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$。

* (4) $\int \tan^{-1} x dx$: 部分積分法を用いる。$u = \tan^{-1} x, dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1 + x^2} dx, v = x$。したがって、$\int \tan^{-1} x dx = x \tan^{-1} x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log(1 + x^2) + C$。

* (5) $\int \frac{2x + 1}{x^2 - 1} dx$: $\frac{2x + 1}{x^2 - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$ と部分分数分解する。$2x + 1 = A(x + 1) + B(x - 1)$。$x = 1$ のとき $3 = 2A$ より $A = \frac{3}{2}$。$x = -1$ のとき $-1 = -2B$ より $B = \frac{1}{2}$。したがって、$\int \frac{2x + 1}{x^2 - 1} dx = \int (\frac{3/2}{x - 1} + \frac{1/2}{x + 1}) dx = \frac{3}{2} \log |x - 1| + \frac{1}{2} \log |x + 1| + C$。

3. **最終的な答え**

**(1) 逆三角関数の計算**

* (1) $\frac{\pi}{6}$

* (2) $\frac{2\pi}{3}$

* (3) $\frac{\pi}{3}$

**(2) 極限の計算**

* (1) $3$

* (2) $\frac{\pi}{2}$

* (3) $\frac{1}{e}$

* (4) $4$

* (5) $1$

**(3) 導関数の計算**

* (1) $6x + \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$

* (2) $\cos^{-1} x$

* (3) $\frac{1 - \log x}{x^2}$

* (4) $6 \sin^2 2x \cos 2x$

* (5) $x^x (\log x + 1)$

**(4) 関数 $f(x) = e^{-x^2}$ について**

* (1) $y = -2e^{-1}x + 3e^{-1}$

* (2) $x=0$ で極大値 $1$

**(5) 定積分の計算**

* (1) $\frac{(2x + 1)^9}{18} + C$

* (2) $\sin^{-1} \frac{x}{2} + C$

* (3) $\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$

* (4) $x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log(1 + x^2) + C$

* (5) $\frac{3}{2} \log |x - 1| + \frac{1}{2} \log |x + 1| + C$