(1) $\cos \frac{\pi}{12}$ の値を求めよ。 (2) $y = 2\sin x - 2\cos x$ を一つの三角関数で表せ。 (3) $\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$、$\cos(\theta + \frac{\pi}{4})$ を $\sin \theta$ と $\cos \theta$ で表せ。 (4) 関数 $y = \sqrt{3}\sin x + \cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) の最大値と最小値を求めよ。

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $\cos \frac{\pi}{12}$ の値を求めよ。

(2) $y = 2\sin x - 2\cos x$ を一つの三角関数で表せ。

(3) $\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$、$\cos(\theta + \frac{\pi}{4})$ を $\sin \theta$ と $\cos \theta$ で表せ。

(4) 関数 $y = \sqrt{3}\sin x + \cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\cos \frac{\pi}{12}$ の値を求める。

$\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ であるから、$\cos$ の加法定理を用いる。

$\cos \frac{\pi}{12} = \cos (\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4}$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

(2) $y = 2\sin x - 2\cos x$ を一つの三角関数で表す。

三角関数の合成を用いる。

$y = 2\sin x - 2\cos x = 2\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x)$

$= 2\sqrt{2}(\sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4}) = 2\sqrt{2} \sin (x - \frac{\pi}{4})$

(3) $\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$、$\cos(\theta + \frac{\pi}{4})$ を $\sin \theta$ と $\cos \theta$ で表す。

加法定理を用いる。

$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \sin \theta \cos \frac{\pi}{3} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta$

$\cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = \cos \theta \cos \frac{\pi}{4} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \theta$

(4) 関数 $y = \sqrt{3}\sin x + \cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) の最大値と最小値を求める。

三角関数の合成を用いる。

$y = \sqrt{3}\sin x + \cos x = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x)$

$= 2 (\sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6}) = 2 \sin (x + \frac{\pi}{6})$

$0 \le x \le 2\pi$ より、$\frac{\pi}{6} \le x + \frac{\pi}{6} \le 2\pi + \frac{\pi}{6}$ であるから、

$-1 \le \sin(x + \frac{\pi}{6}) \le 1$ となる。

最大値は $2 \cdot 1 = 2$ で、$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ より $x = \frac{\pi}{3}$ のとき。

最小値は $2 \cdot (-1) = -2$ で、$x + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$ より $x = \frac{4\pi}{3}$ のとき。

3. 最終的な答え

(1) $\cos \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

(2) $y = 2\sqrt{2} \sin (x - \frac{\pi}{4})$

(3) $\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta$

$\cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \theta$

(4) 最大値 2 (x = $\frac{\pi}{3}$)、最小値 -2 (x = $\frac{4\pi}{3}$)