与えられた3つの広義積分を、指示された切断パラメータを用いて計算します。 (1) $\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx$ (2) $\int_{0}^{\pi/2} (\frac{1}{\tan x} - \frac{1}{x}) dx$ (3) $\int_{1}^{\infty} \frac{\ln(1+x^2)}{x^2} dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの広義積分を、指示された切断パラメータを用いて計算します。

(1) $\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx$

(2) $\int_{0}^{\pi/2} (\frac{1}{\tan x} - \frac{1}{x}) dx$

(3) $\int_{1}^{\infty} \frac{\ln(1+x^2)}{x^2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx$

$x = 0$ で被積分関数が非有界なので、$\epsilon > 0$ を用いて積分範囲を $[\epsilon, 1]$ とし、$\epsilon \to 0$ の極限を取ります。

$\int_{\epsilon}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx$ を計算します。

部分積分を行います。$u = \ln x$, $dv = \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = 2\sqrt{x}$ となります。

$\int_{\epsilon}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx = [2\sqrt{x} \ln x]_{\epsilon}^{1} - \int_{\epsilon}^{1} 2\sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} dx = [2\sqrt{x} \ln x]_{\epsilon}^{1} - 2\int_{\epsilon}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

$= (2\sqrt{1}\ln 1 - 2\sqrt{\epsilon}\ln \epsilon) - 2[2\sqrt{x}]_{\epsilon}^{1} = (0 - 2\sqrt{\epsilon}\ln \epsilon) - 4(\sqrt{1} - \sqrt{\epsilon}) = -2\sqrt{\epsilon}\ln \epsilon - 4 + 4\sqrt{\epsilon}$

$\lim_{\epsilon \to 0} (-2\sqrt{\epsilon}\ln \epsilon - 4 + 4\sqrt{\epsilon})$ を計算します。

$\lim_{\epsilon \to 0} \sqrt{\epsilon} = 0$, $\lim_{\epsilon \to 0} \sqrt{\epsilon} \ln \epsilon = 0$ であるので、

$\lim_{\epsilon \to 0} (-2\sqrt{\epsilon}\ln \epsilon - 4 + 4\sqrt{\epsilon}) = -4$

(2) $\int_{0}^{\pi/2} (\frac{1}{\tan x} - \frac{1}{x}) dx$

$x=0$ で被積分関数が定義できないので、$\epsilon > 0$ を用いて積分範囲を $[\epsilon, \pi/2]$ とし、$\epsilon \to 0$ の極限を取ります。

$\int_{\epsilon}^{\pi/2} (\frac{1}{\tan x} - \frac{1}{x}) dx = \int_{\epsilon}^{\pi/2} (\frac{\cos x}{\sin x} - \frac{1}{x}) dx$

この積分は計算が難しいので、解答は画像に書かれている式で止めることにします。

$\lim_{\epsilon \to 0} \int_{\epsilon}^{\pi/2} (\frac{1}{\tan x} - \frac{1}{x}) dx$

(3) $\int_{1}^{\infty} \frac{\ln(1+x^2)}{x^2} dx$

積分区間が非有界なので、$\Lambda > 1$ を用いて積分範囲を $[1, \Lambda]$ とし、$\Lambda \to \infty$ の極限を取ります。

$\int_{1}^{\Lambda} \frac{\ln(1+x^2)}{x^2} dx$ を計算します。

部分積分を行います。$u = \ln(1+x^2)$, $dv = \frac{1}{x^2} dx$ とすると、$du = \frac{2x}{1+x^2} dx$, $v = -\frac{1}{x}$ となります。

$\int_{1}^{\Lambda} \frac{\ln(1+x^2)}{x^2} dx = [-\frac{1}{x}\ln(1+x^2)]_{1}^{\Lambda} - \int_{1}^{\Lambda} (-\frac{1}{x})\frac{2x}{1+x^2} dx = [-\frac{1}{x}\ln(1+x^2)]_{1}^{\Lambda} + 2\int_{1}^{\Lambda} \frac{1}{1+x^2} dx$

$= (-\frac{1}{\Lambda}\ln(1+\Lambda^2) - (-\frac{1}{1}\ln(1+1^2))) + 2[\arctan x]_{1}^{\Lambda} = -\frac{\ln(1+\Lambda^2)}{\Lambda} + \ln 2 + 2(\arctan \Lambda - \arctan 1)$

$\lim_{\Lambda \to \infty} (-\frac{\ln(1+\Lambda^2)}{\Lambda} + \ln 2 + 2\arctan \Lambda - 2\arctan 1)$ を計算します。

$\lim_{\Lambda \to \infty} \frac{\ln(1+\Lambda^2)}{\Lambda} = 0$, $\lim_{\Lambda \to \infty} \arctan \Lambda = \frac{\pi}{2}$, $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$ であるので、

$\lim_{\Lambda \to \infty} (-\frac{\ln(1+\Lambda^2)}{\Lambda} + \ln 2 + 2\arctan \Lambda - 2\arctan 1) = 0 + \ln 2 + 2(\frac{\pi}{2}) - 2(\frac{\pi}{4}) = \ln 2 + \pi - \frac{\pi}{2} = \ln 2 + \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

(1) -4

(2) $\lim_{\epsilon \to 0} \int_{\epsilon}^{\pi/2} (\frac{1}{\tan x} - \frac{1}{x}) dx$

(3) $\ln 2 + \frac{\pi}{2}$