与えられた9つの関数の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた9つの関数の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

各関数の導関数を求める手順は以下の通りです。

(1) $3x^3 - 5x^2 + 2x + 1$

多項式の微分なので、各項を微分します。

$\frac{d}{dx}(3x^3) = 9x^2$

$\frac{d}{dx}(-5x^2) = -10x$

$\frac{d}{dx}(2x) = 2$

$\frac{d}{dx}(1) = 0$

(2) $\frac{x^3 - 5x^2 + 4}{x^2}$

まず、関数を簡略化します。

$\frac{x^3 - 5x^2 + 4}{x^2} = x - 5 + \frac{4}{x^2} = x - 5 + 4x^{-2}$

各項を微分します。

$\frac{d}{dx}(x) = 1$

$\frac{d}{dx}(-5) = 0$

$\frac{d}{dx}(4x^{-2}) = -8x^{-3} = -\frac{8}{x^3}$

(3) $(5x^2 - 3x - 4)(2x + 1)$

積の微分公式を使用します。

$(uv)' = u'v + uv'$

$u = 5x^2 - 3x - 4$

$u' = 10x - 3$

$v = 2x + 1$

$v' = 2$

$(5x^2 - 3x - 4)(2x + 1)' = (10x - 3)(2x + 1) + (5x^2 - 3x - 4)(2) = 20x^2 + 10x - 6x - 3 + 10x^2 - 6x - 8 = 30x^2 - 2x - 11$

(4) $(x+2)^2(2x-3)^3$

積の微分公式を使用します。

$(uv)' = u'v + uv'$

$u = (x+2)^2$

$u' = 2(x+2)$

$v = (2x-3)^3$

$v' = 3(2x-3)^2(2) = 6(2x-3)^2$

$((x+2)^2(2x-3)^3)' = 2(x+2)(2x-3)^3 + (x+2)^2(6(2x-3)^2) = 2(x+2)(2x-3)^2((2x-3) + 3(x+2)) = 2(x+2)(2x-3)^2(5x+3)$

(5) $x^2 - \frac{6}{x-4}$

各項を微分します。

$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

$\frac{d}{dx}(-\frac{6}{x-4}) = -6\frac{d}{dx}((x-4)^{-1}) = -6(-1)(x-4)^{-2} = \frac{6}{(x-4)^2}$

$(x^2 - \frac{6}{x-4})' = 2x + \frac{6}{(x-4)^2}$

(6) $\frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}}$

この問題は画像が不鮮明で解釈が難しいので省略します。

(7) $\frac{x^2 - 3x + 2}{2x - 3}$

商の微分公式を使用します。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = x^2 - 3x + 2$

$u' = 2x - 3$

$v = 2x - 3$

$v' = 2$

$(\frac{x^2 - 3x + 2}{2x - 3})' = \frac{(2x - 3)(2x - 3) - (x^2 - 3x + 2)(2)}{(2x - 3)^2} = \frac{4x^2 - 12x + 9 - 2x^2 + 6x - 4}{(2x - 3)^2} = \frac{2x^2 - 6x + 5}{(2x - 3)^2}$

(8) $\frac{3x^2 + 1}{x^2 - x + 1}$

商の微分公式を使用します。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = 3x^2 + 1$

$u' = 6x$

$v = x^2 - x + 1$

$v' = 2x - 1$

$(\frac{3x^2 + 1}{x^2 - x + 1})' = \frac{6x(x^2 - x + 1) - (3x^2 + 1)(2x - 1)}{(x^2 - x + 1)^2} = \frac{6x^3 - 6x^2 + 6x - (6x^3 - 3x^2 + 2x - 1)}{(x^2 - x + 1)^2} = \frac{-3x^2 + 4x + 1}{(x^2 - x + 1)^2}$

(9) $(x^2 - 5x + 2)^4$

合成関数の微分を使用します。

$((x^2 - 5x + 2)^4)' = 4(x^2 - 5x + 2)^3(2x - 5)$

3. 最終的な答え

(1) $9x^2 - 10x + 2$

(2) $1 - \frac{8}{x^3}$

(3) $30x^2 - 2x - 11$

(4) $2(x+2)(2x-3)^2(5x+3)$

(5) $2x + \frac{6}{(x-4)^2}$

(6) 省略

(7) $\frac{2x^2 - 6x + 5}{(2x - 3)^2}$

(8) $\frac{-3x^2 + 4x + 1}{(x^2 - x + 1)^2}$

(9) $4(x^2 - 5x + 2)^3(2x - 5)$