以下の式を計算します。 $(\sqrt{2022} + \sqrt{77})^2 - 2(\sqrt{2022} + \sqrt{77})(\sqrt{2022} - 1) + 2(\sqrt{2022} - \sqrt{77})(\sqrt{2022} - 1) - (\sqrt{2022} - \sqrt{77})^2$

## 問題1

1. 問題の内容

以下の式を計算します。

$(\sqrt{2022} + \sqrt{77})^2 - 2(\sqrt{2022} + \sqrt{77})(\sqrt{2022} - 1) + 2(\sqrt{2022} - \sqrt{77})(\sqrt{2022} - 1) - (\sqrt{2022} - \sqrt{77})^2$

2. 解き方の手順

式を整理し、展開して計算します。

まず、式を以下のようにまとめます。

$A = \sqrt{2022}$

$B = \sqrt{77}$

与式は、

$(A + B)^2 - 2(A + B)(A - 1) + 2(A - B)(A - 1) - (A - B)^2$

これを展開します。

$(A^2 + 2AB + B^2) - 2(A^2 - A + AB - B) + 2(A^2 - A - AB + B) - (A^2 - 2AB + B^2)$

$= A^2 + 2AB + B^2 - 2A^2 + 2A - 2AB + 2B + 2A^2 - 2A - 2AB + 2B - A^2 + 2AB - B^2$

$= (A^2 - 2A^2 + 2A^2 - A^2) + (2AB - 2AB - 2AB + 2AB) + (B^2 - B^2) + (2A - 2A) + (2B + 2B)$

$= 0 + 0 + 0 + 0 + 4B$

$= 4B$

$= 4\sqrt{77}$

3. 最終的な答え

$4\sqrt{77}$

## 問題2

1. 問題の内容

以下の式を計算します。

$2023 \times 108 - 2022 \times 110 + 4046 - 54$

2. 解き方の手順

式を変形して計算しやすくします。

$2023 \times 108 - 2022 \times 110 + 4046 - 54$

$= 2023 \times 108 - 2022 \times (108 + 2) + 4046 - 54$

$= 2023 \times 108 - 2022 \times 108 - 2022 \times 2 + 4046 - 54$

$= (2023 - 2022) \times 108 - 4044 + 4046 - 54$

$= 1 \times 108 + 2 - 54$

$= 108 + 2 - 54$

$= 110 - 54$

$= 56$

3. 最終的な答え

$56$

## 問題3

1. 問題の内容

以下の式を計算します。

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})^2}{\sqrt{18}(\sqrt{2} - 1)} \div \frac{(\sqrt{2(\sqrt{8}+2)})^2}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

式を整理し、計算します。

まず、$\sqrt{18}(\sqrt{2} - 1)$を簡略化します。

$\sqrt{18}(\sqrt{2} - 1) = 3\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1) = 3(2 - \sqrt{2}) = 6 - 3\sqrt{2}$

次に、$\sqrt{2(\sqrt{8} + 2)}$を簡略化します。

$\sqrt{2(\sqrt{8} + 2)} = \sqrt{2(2\sqrt{2} + 2)} = \sqrt{4\sqrt{2} + 4} = \sqrt{4(\sqrt{2} + 1)} = 2\sqrt{\sqrt{2} + 1}$

$(\sqrt{2(\sqrt{8}+2)})^2 = 4(\sqrt{2} + 1) = 4\sqrt{2} + 4$

したがって、与式は次のようになります。

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})^2}{6 - 3\sqrt{2}} \div \frac{4\sqrt{2} + 4}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}$

$= \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})^2}{6 - 3\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{4\sqrt{2} + 4}$

$= \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})^2 (\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{(6 - 3\sqrt{2})(4\sqrt{2} + 4)}$

分子を展開して整理することを試みますが、複雑になるため、別の簡略化方法を探します。

まず、$(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}) = (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = 2+2\sqrt{6}+3 - 5 = 2\sqrt{6}$.

よって分子は $(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})(2\sqrt{6}) = 2\sqrt{6}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}) = 2\sqrt{12}+2\sqrt{18}-2\sqrt{30}=4\sqrt{3}+6\sqrt{2}-2\sqrt{30}$

分母は$(6 - 3\sqrt{2})(4\sqrt{2} + 4) = 24\sqrt{2}+24-24-12\sqrt{2}=12\sqrt{2}$.

$\frac{4\sqrt{3}+6\sqrt{2}-2\sqrt{30}}{12\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{6\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}+6-\sqrt{60}}{12} = \frac{2\sqrt{6}+6-2\sqrt{15}}{12} = \frac{\sqrt{6}+3-\sqrt{15}}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{6}+3-\sqrt{15}}{6}$