問題は、3つの小問に分かれています。 - 問1: 乗法公式を利用した計算問題の穴埋めです。 (1) $63 \times 57 = (\text{ア} + \text{イ})(\text{ア} - \text{イ}) = \text{ア}^2 - \text{イ}^2 = \text{ウ}$ (2) $204^2 = (200 + \text{エ})^2 = 200^2 + 2 \times \text{エ} \times 200 + \text{エ}^2 = \text{オ}$ - 問2: 因数分解を利用した計算問題の穴埋めです。 $x = 42, y = 18$ のとき、$x^2 - y^2$ の値を因数分解を利用して求めます。 $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = (42 + \text{カ})(42 - \text{カ}) = 60 \times \text{キ} = \text{ク}$ - 問3: 2つの連続する奇数の2乗の和が偶数になることを証明する問題の穴埋めです。 $(2n - 1)^2 + (2n + 1)^2$ を計算すると、$\text{ケ}n^2 + 2 = \text{コ}(4n^2 + 1)$ となる。 $4n^2 + 1$ は整数であるから、この式は $\text{コ}$ の倍数である。

1. 問題の内容

問題は、3つの小問に分かれています。

- 問1: 乗法公式を利用した計算問題の穴埋めです。

(1) $63 \times 57 = (\text{ア} + \text{イ})(\text{ア} - \text{イ}) = \text{ア}^2 - \text{イ}^2 = \text{ウ}$

(2) $204^2 = (200 + \text{エ})^2 = 200^2 + 2 \times \text{エ} \times 200 + \text{エ}^2 = \text{オ}$

- 問2: 因数分解を利用した計算問題の穴埋めです。

$x = 42, y = 18$ のとき、$x^2 - y^2$ の値を因数分解を利用して求めます。

$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = (42 + \text{カ})(42 - \text{カ}) = 60 \times \text{キ} = \text{ク}$

- 問3: 2つの連続する奇数の2乗の和が偶数になることを証明する問題の穴埋めです。

$(2n - 1)^2 + (2n + 1)^2$ を計算すると、$\text{ケ}n^2 + 2 = \text{コ}(4n^2 + 1)$ となる。

$4n^2 + 1$ は整数であるから、この式は $\text{コ}$ の倍数である。

2. 解き方の手順

- 問1 (1):

- $63 = 60 + 3$, $57 = 60 - 3$ より、$\text{ア} = 60$, $\text{イ} = 3$

- $60^2 - 3^2 = 3600 - 9 = 3591$ より、$\text{ウ} = 3591$

- 問1 (2):

- $204 = 200 + 4$ より、$\text{エ} = 4$

- $200^2 + 2 \times 4 \times 200 + 4^2 = 40000 + 1600 + 16 = 41616$ より、$\text{オ} = 41616$

- 問2:

- $x + y = 42 + 18 = 60$, $x - y = 42 - 18 = 24$ より、$\text{カ} = 18$

- $60 \times 24 = 1440$ より、$60 \times \text{キ} = 1440$ なので $\text{キ} = 24$

- したがって、$\text{ク} = 1440$

- 問3:

- $(2n - 1)^2 + (2n + 1)^2 = (4n^2 - 4n + 1) + (4n^2 + 4n + 1) = 8n^2 + 2$ より、$\text{ケ} = 8$

- $8n^2 + 2 = 2(4n^2 + 1)$ より、$\text{コ} = 2$

3. 最終的な答え

- 問1:

- ア: 60, イ: 3, ウ: 3591

- エ: 4, オ: 41616

- 問2:

- カ: 18, キ: 24, ク: 1440

- 問3:

- ケ: 8, コ: 2