$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $2\cos^2\theta + 3\cos\theta + 1 \le 0$ を解く。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $2\cos^2\theta + 3\cos\theta + 1 \le 0$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、$\cos\theta = x$ とおくと、与えられた不等式は

$2x^2 + 3x + 1 \le 0$

と書き換えられる。

左辺を因数分解すると、

$(2x+1)(x+1) \le 0$

となる。

この不等式を満たす $x$ の範囲は、

$-1 \le x \le -\frac{1}{2}$

である。

$\cos\theta = x$ であったから、

$-1 \le \cos\theta \le -\frac{1}{2}$

となる。

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲でこれを満たす$\theta$を求める。

$\cos\theta = -1$ となるのは $\theta = \pi$ のときである。

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$ となるのは $\theta = \frac{2}{3}\pi$ と $\theta = \frac{4}{3}\pi$ のときである。

したがって、$-1 \le \cos\theta \le -\frac{1}{2}$ を満たす$\theta$の範囲は、

$\frac{2}{3}\pi \le \theta \le \frac{4}{3}\pi$

である。

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}\pi \le \theta \le \frac{4}{3}\pi$