与えられた条件を満たす二次関数、または放物線の方程式を求める問題です。具体的には、以下の4つの小問があります。 (1) 頂点の座標と、通る1点の座標が与えられたとき。 (2) 軸が指定された放物線と同一であり、通る2点の座標が与えられたとき。 (3) 通る3点の座標が与えられたとき。 (4) 与えられた放物線と原点に関して対称な放物線の方程式を求めるとき。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす二次関数、または放物線の方程式を求める問題です。具体的には、以下の4つの小問があります。

(1) 頂点の座標と、通る1点の座標が与えられたとき。

(2) 軸が指定された放物線と同一であり、通る2点の座標が与えられたとき。

(3) 通る3点の座標が与えられたとき。

(4) 与えられた放物線と原点に関して対称な放物線の方程式を求めるとき。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が(3, -4)で、点(1, 8)を通る放物線

頂点の座標が与えられているので、求める二次関数は $y = a(x - 3)^2 - 4$ と表せます。この放物線が点(1, 8)を通ることから、$x = 1$, $y = 8$ を代入して$a$を求めます。

$8 = a(1 - 3)^2 - 4$

$8 = 4a - 4$

$12 = 4a$

$a = 3$

よって、$y = 3(x - 3)^2 - 4 = 3(x^2 - 6x + 9) - 4 = 3x^2 - 18x + 27 - 4 = 3x^2 - 18x + 23$

(2) 放物線 $y = x^2 - 6x + 12$ と軸が同じで、2点(1, -5), (4, 4)を通る放物線

$y = x^2 - 6x + 12 = (x - 3)^2 + 3$なので軸は$x = 3$です。したがって求める二次関数を$y = a(x - 3)^2 + q$とおきます。

この放物線が(1, -5), (4, 4)を通ることから、以下の連立方程式が得られます。

$-5 = a(1 - 3)^2 + q = 4a + q$

$4 = a(4 - 3)^2 + q = a + q$

これを解きます。

$4a + q = -5$

$a + q = 4$

上の式から下の式を引くと$3a = -9$より、$a = -3$。これを下の式に代入すると$-3 + q = 4$より、$q = 7$。

よって、$y = -3(x - 3)^2 + 7 = -3(x^2 - 6x + 9) + 7 = -3x^2 + 18x - 27 + 7 = -3x^2 + 18x - 20$

(3) 3点(1, 0), (2, -7), (3, -20)を通る放物線

求める二次関数を$y = ax^2 + bx + c$とおきます。

この放物線が(1, 0), (2, -7), (3, -20)を通ることから、以下の連立方程式が得られます。

$a + b + c = 0$

$4a + 2b + c = -7$

$9a + 3b + c = -20$

これを解きます。

2番目の式から1番目の式を引くと、$3a + b = -7$。

3番目の式から2番目の式を引くと、$5a + b = -13$。

下の式から上の式を引くと、$2a = -6$より、$a = -3$。

$3a + b = -7$に代入すると$-9 + b = -7$より、$b = 2$。

$a + b + c = 0$に代入すると$-3 + 2 + c = 0$より、$c = 1$。

よって、$y = -3x^2 + 2x + 1$

(4) 放物線 $y = 2x^2 - 4x + 5$ と原点に関して対称な放物線

原点に関して対称な点の座標は、$(x, y)$ が $(-x, -y)$ に変換されることを利用します。

与えられた放物線の方程式を $y = 2x^2 - 4x + 5$ とします。

$x$ を $-x$ に、$y$ を $-y$ に置き換えると、

$-y = 2(-x)^2 - 4(-x) + 5$

$-y = 2x^2 + 4x + 5$

$y = -2x^2 - 4x - 5$

3. 最終的な答え

(1) $y = 3x^2 - 18x + 23$

(2) $y = -3x^2 + 18x - 20$

(3) $y = -3x^2 + 2x + 1$

(4) $y = -2x^2 - 4x - 5$