与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ の固有値と、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを一つずつ求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ の固有値と、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを一つずつ求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、固有値を求めるために、特性方程式を解きます。特性方程式は、$\det(A - \lambda I) = 0$ で与えられます。ここで、$I$ は単位行列であり、$λ$ は固有値を表します。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 0 - \lambda & 2 \\ 1 & -1 - \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\lambda & 2 \\ 1 & -1 - \lambda \end{pmatrix}$

特性方程式は次のようになります。

$\det(A - \lambda I) = (-\lambda)(-1 - \lambda) - (2)(1) = \lambda^2 + \lambda - 2 = 0$

この二次方程式を解くと、固有値 $\lambda$ が求められます。

$\lambda^2 + \lambda - 2 = (\lambda + 2)(\lambda - 1) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 1$ と $\lambda_2 = -2$ です。

次に、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

(i) $\lambda_1 = 1$ の場合:

$(A - \lambda_1 I)v_1 = 0$ を満たすベクトル $v_1$ を求めます。ここで、$v_1 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とします。

$\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この連立方程式は、$-x + 2y = 0$ と $x - 2y = 0$ を意味します。つまり、$x = 2y$ となります。$y = 1$ とすると、$x = 2$ となり、固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ となります。

(ii) $\lambda_2 = -2$ の場合:

$(A - \lambda_2 I)v_2 = 0$ を満たすベクトル $v_2$ を求めます。ここで、$v_2 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とします。

$\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この連立方程式は、$2x + 2y = 0$ と $x + y = 0$ を意味します。つまり、$x = -y$ となります。$y = 1$ とすると、$x = -1$ となり、固有ベクトルは $v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ となります。

3. 最終的な答え

固有値は $\lambda_1 = 1$ と $\lambda_2 = -2$ です。

$\lambda_1 = 1$ に対応する固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ です。

$\lambda_2 = -2$ に対応する固有ベクトルは $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ です。