$R^3$ の部分空間 $W = \{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} | x+y+z=0 \}$ を考える。 $3 \times 2$ 行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}$ で決まる線形写像 $f_A: R^2 \rightarrow R^3$ を考える。$f_A$ が $R^2$ から $W$ への同型写像を与えることを示せ。

1. 問題の内容

$R^3$ の部分空間 $W = \{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} | x+y+z=0 \}$ を考える。

$3 \times 2$ 行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}$ で決まる線形写像 $f_A: R^2 \rightarrow R^3$ を考える。$f_A$ が $R^2$ から $W$ への同型写像を与えることを示せ。

2. 解き方の手順

同型写像であることを示すためには、次の3つの条件を示す必要があります。

(1) $f_A$ が線形写像である。

(2) $f_A$ の像が $W$ に含まれる。つまり、任意の $v \in R^2$ に対して、$f_A(v) \in W$ である。

(3) $f_A$ が全単射である。つまり、単射（kernelが{0}である）かつ全射である。

(1) $f_A$ が線形写像であることの証明：

任意の $v_1, v_2 \in R^2$ と スカラー $c$ について、

$f_A(v_1 + v_2) = A(v_1 + v_2) = Av_1 + Av_2 = f_A(v_1) + f_A(v_2)$

$f_A(cv_1) = A(cv_1) = c(Av_1) = c f_A(v_1)$

したがって、$f_A$ は線形写像である。

(2) $f_A$ の像が $W$ に含まれることの証明：

任意の $v = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \in R^2$ について、

$f_A(v) = A v = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ -x-y \end{bmatrix}$

このとき、$x + y + (-x-y) = 0$ であるから、$f_A(v) \in W$ である。

したがって、Im($f_A$) $\subset W$。

(3) $f_A$ が全単射であることの証明：

(a) 単射であること：

$f_A(v) = 0$ となる $v = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \in R^2$ を考える。

$f_A(v) = \begin{bmatrix} x \\ y \\ -x-y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

これは $x=0$ かつ $y=0$ を意味するので、$v = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ である。

したがって、ker($f_A$) = {0} であり、$f_A$ は単射である。

(b) 全射であること：

$W$ の任意の要素 $w = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ は、$x + y + z = 0$ を満たす。

つまり、$z = -x - y$ であるから、$w = \begin{bmatrix} x \\ y \\ -x-y \end{bmatrix}$ と表せる。

ここで、$v = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \in R^2$ を考えると、$f_A(v) = \begin{bmatrix} x \\ y \\ -x-y \end{bmatrix} = w$ となる。

したがって、$f_A$ は全射である。

$W$の次元は$x+y+z=0$より$z=-x-y$で表されるので,基底は$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$と$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$となり次元は2である。

$R^2$の次元も2なので$f_A$が全射であれば次元定理より同型写像である。

以上の(1), (2), (3) より、$f_A$ は $R^2$ から $W$ への同型写像を与える。

3. 最終的な答え

$f_A$ は $R^2$ から $W$ への同型写像である。