与えられた2次関数に関する問題を解きます。具体的には、頂点の座標、平行移動後の式、最大値、x軸との共有点の個数、2次不等式の解を求める問題です。

代数学二次関数平方完成判別式二次不等式平行移動最大値グラフ共有点
2025/7/12

1. 問題の内容

与えられた2次関数に関する問題を解きます。具体的には、頂点の座標、平行移動後の式、最大値、x軸との共有点の個数、2次不等式の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

(2) 2次関数 y=2x2y = 2x^2 のグラフをx軸方向に3、y軸方向に-1だけ平行移動させると、
xxx3x - 3 に、 yyy+1y + 1 に置き換えます。
よって、y+1=2(x3)2y + 1 = 2(x - 3)^2 となり、
y=2(x3)21y = 2(x - 3)^2 - 1 となります。
y=2(x26x+9)1=2x212x+181=2x212x+17y = 2(x^2 - 6x + 9) - 1 = 2x^2 - 12x + 18 - 1 = 2x^2 - 12x + 17.
(3) 2次関数 y=x26xy = -x^2 - 6x の最大値を求めるには、平方完成を行います。
y=(x2+6x)=(x2+6x+99)=(x+3)2+9y = -(x^2 + 6x) = -(x^2 + 6x + 9 - 9) = -(x + 3)^2 + 9.
よって、最大値は9です。
(4) 2次関数 y=3x25x+2y = 3x^2 - 5x + 2 のグラフとx軸との共有点の個数を求めるには、判別式 D=b24acD = b^2 - 4ac を計算します。
D=(5)24(3)(2)=2524=1>0D = (-5)^2 - 4(3)(2) = 25 - 24 = 1 > 0.
判別式が正なので、共有点は2個です。
(5) 2次関数 y=2x2+x4y = -2x^2 + x - 4 のグラフとx軸との共有点の個数を求めるには、判別式 D=b24acD = b^2 - 4ac を計算します。
D=(1)24(2)(4)=132=31<0D = (1)^2 - 4(-2)(-4) = 1 - 32 = -31 < 0.
判別式が負なので、共有点は0個です。
(6) 2次不等式 x2+6x160x^2 + 6x - 16 \le 0 を解きます。
まず、x2+6x16=0x^2 + 6x - 16 = 0 を解きます。
(x+8)(x2)=0(x + 8)(x - 2) = 0
x=8,2x = -8, 2.
したがって、8x2-8 \le x \le 2
(7) 2次不等式 x2x6>0x^2 - x - 6 > 0 を解きます。
まず、x2x6=0x^2 - x - 6 = 0 を解きます。
(x3)(x+2)=0(x - 3)(x + 2) = 0
x=3,2x = 3, -2.
したがって、x<2x < -2 または x>3x > 3.

3. 最終的な答え

(2) y=2x212x+17y = 2x^2 - 12x + 17
(3) 9
(4) 2
(5) 0
(6) 8x2-8 \le x \le 2
(7) x<2x < -2 または x>3x > 3

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