与えられた行列式 $A$ に対して、以下の問いに答えます。 (1) 第2行で余因子展開せよ。 (2) 第4列で余因子展開せよ。 (3) $|A|$ の値を求めよ。 ここで、 $A = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 5 & 3 \\ 3 & -2 & -2 & 2 \\ 4 & 0 & -4 & 0 \\ 6 & 0 & 8 & 0 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列式 $A$ に対して、以下の問いに答えます。

(1) 第2行で余因子展開せよ。

(2) 第4列で余因子展開せよ。

(3) $|A|$ の値を求めよ。

ここで、

$A = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 5 & 3 \\ 3 & -2 & -2 & 2 \\ 4 & 0 & -4 & 0 \\ 6 & 0 & 8 & 0 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 第2行で余因子展開する。

$|A| = \sum_{j=1}^4 a_{2j} (-1)^{2+j} M_{2j}$

ここで $a_{2j}$ は第2行の $j$ 列目の要素、$M_{2j}$ は第2行と $j$ 列を除いた小行列式。

$|A| = 3(-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -1 & 5 & 3 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \end{vmatrix} + (-2)(-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 0 & 5 & 3 \\ 4 & -4 & 0 \\ 6 & 8 & 0 \end{vmatrix} + (-2)(-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 0 & -1 & 3 \\ 4 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 0 \end{vmatrix} + 2(-1)^{2+4} \begin{vmatrix} 0 & -1 & 5 \\ 4 & 0 & -4 \\ 6 & 0 & 8 \end{vmatrix}$

まず、

$\begin{vmatrix} -1 & 5 & 3 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \end{vmatrix} = -1 \begin{vmatrix} -4 & 0 \\ 8 & 0 \end{vmatrix} - 5 \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 0 & -4 \\ 0 & 8 \end{vmatrix} = -1(0) - 5(0) + 3(0) = 0$

次に、

$\begin{vmatrix} 0 & 5 & 3 \\ 4 & -4 & 0 \\ 6 & 8 & 0 \end{vmatrix} = 0\begin{vmatrix} -4 & 0 \\ 8 & 0 \end{vmatrix} - 5 \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 4 & -4 \\ 6 & 8 \end{vmatrix} = 0 - 5(0) + 3(32+24) = 3(56) = 168$

次に、

$\begin{vmatrix} 0 & -1 & 3 \\ 4 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = 0 + 1(0) + 3(0) = 0$

最後に、

$\begin{vmatrix} 0 & -1 & 5 \\ 4 & 0 & -4 \\ 6 & 0 & 8 \end{vmatrix} = 0 \begin{vmatrix} 0 & -4 \\ 0 & 8 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 4 & -4 \\ 6 & 8 \end{vmatrix} + 5 \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = 0 + (32+24) + 5(0) = 56$

よって、$|A| = 3(-1)(0) + (-2)(1)(168) + (-2)(-1)(0) + 2(1)(56) = 0 - 336 + 0 + 112 = -224$

(2) 第4列で余因子展開する。

$|A| = \sum_{i=1}^4 a_{i4} (-1)^{i+4} M_{i4}$

ここで $a_{i4}$ は第 $i$ 行の4列目の要素、$M_{i4}$ は第 $i$ 行と4列を除いた小行列式。

$|A| = 3(-1)^{1+4} \begin{vmatrix} 3 & -2 & -2 \\ 4 & 0 & -4 \\ 6 & 0 & 8 \end{vmatrix} + 2(-1)^{2+4} \begin{vmatrix} 0 & -1 & 5 \\ 4 & 0 & -4 \\ 6 & 0 & 8 \end{vmatrix} + 0(-1)^{3+4} \begin{vmatrix} 0 & -1 & 5 \\ 3 & -2 & -2 \\ 6 & 0 & 8 \end{vmatrix} + 0(-1)^{4+4} \begin{vmatrix} 0 & -1 & 5 \\ 3 & -2 & -2 \\ 4 & 0 & -4 \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 3 & -2 & -2 \\ 4 & 0 & -4 \\ 6 & 0 & 8 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} 0 & -4 \\ 0 & 8 \end{vmatrix} - (-2) \begin{vmatrix} 4 & -4 \\ 6 & 8 \end{vmatrix} + (-2) \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = 3(0) + 2(32+24) - 2(0) = 2(56) = 112$

$\begin{vmatrix} 0 & -1 & 5 \\ 4 & 0 & -4 \\ 6 & 0 & 8 \end{vmatrix} = 0 \begin{vmatrix} 0 & -4 \\ 0 & 8 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 4 & -4 \\ 6 & 8 \end{vmatrix} + 5 \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = 0 + 1(32+24) + 5(0) = 56$

よって、$|A| = 3(-1)(112) + 2(1)(56) + 0 + 0 = -336 + 112 = -224$

(3) $|A|$ の値を求める。

(1), (2)より、$|A| = -224$

3. 最終的な答え

(1) 第2行での余因子展開: $|A| = -224$

(2) 第4列での余因子展開: $|A| = -224$

(3) $|A|$ の値: $-224$