2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが3点 $(-1, 1)$, $(0, -1)$, $(1, 2)$ を通る。このグラフの頂点の座標を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが3点 $(-1, 1)$, $(0, -1)$, $(1, 2)$ を通る。このグラフの頂点の座標を求める。

2. 解き方の手順

与えられた3点の座標を2次関数の式に代入して、$a, b, c$ の値を求める。

点 $(-1, 1)$ を通るので、

$a(-1)^2 + b(-1) + c = 1$

$a - b + c = 1$ ...(1)

点 $(0, -1)$ を通るので、

$a(0)^2 + b(0) + c = -1$

$c = -1$ ...(2)

点 $(1, 2)$ を通るので、

$a(1)^2 + b(1) + c = 2$

$a + b + c = 2$ ...(3)

(2)を(1)と(3)に代入すると、

$a - b - 1 = 1$ => $a - b = 2$ ...(4)

$a + b - 1 = 2$ => $a + b = 3$ ...(5)

(4)と(5)を足し合わせると、

$2a = 5$

$a = \frac{5}{2}$

(5)より、

$b = 3 - a = 3 - \frac{5}{2} = \frac{6}{2} - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$

したがって、$a = \frac{5}{2}, b = \frac{1}{2}, c = -1$ である。

2次関数は $y = \frac{5}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - 1$ となる。

頂点のx座標を求めるために、平方完成する。

$y = \frac{5}{2}(x^2 + \frac{1}{5}x) - 1$

$y = \frac{5}{2}(x^2 + \frac{1}{5}x + (\frac{1}{10})^2 - (\frac{1}{10})^2) - 1$

$y = \frac{5}{2}(x + \frac{1}{10})^2 - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{100} - 1$

$y = \frac{5}{2}(x + \frac{1}{10})^2 - \frac{1}{40} - 1$

$y = \frac{5}{2}(x + \frac{1}{10})^2 - \frac{1}{40} - \frac{40}{40}$

$y = \frac{5}{2}(x + \frac{1}{10})^2 - \frac{41}{40}$

頂点の座標は $(-\frac{1}{10}, -\frac{41}{40})$

3. 最終的な答え

頂点の座標は $\left(-\frac{1}{10}, -\frac{41}{40}\right)$