行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -0.6 & 0.8 \\ 0.8 & 0.6 \end{pmatrix}$ が与えられています。 (1) 行列AとBをそれぞれ対角化してください。 (2) $k$ を任意の自然数として、$A^k$ と $B^k$ を求めてください。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -0.6 & 0.8 \\ 0.8 & 0.6 \end{pmatrix}$ が与えられています。

(1) 行列AとBをそれぞれ対角化してください。

(2) $k$ を任意の自然数として、$A^k$ と $B^k$ を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 行列Aの対角化

* 固有値を求める。

特性方程式は $|A - \lambda I| = 0$ より、

$\begin{vmatrix} -\lambda & 2 \\ 1 & -1-\lambda \end{vmatrix} = \lambda(1+\lambda) - 2 = \lambda^2 + \lambda - 2 = (\lambda + 2)(\lambda - 1) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = -2$ です。

* 固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = 1$ に対して、$(A - I)v_1 = 0$ を解くと、$\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + 2y = 0$ より、$x = 2y$。よって、固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ (もしくは定数倍)。

$\lambda_2 = -2$ に対して、$(A + 2I)v_2 = 0$ を解くと、$\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x + y = 0$ より、$y = -x$。よって、固有ベクトルは $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ (もしくは定数倍)。

* 対角化する。

$P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ とすると、$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = D$ となります。

$P^{-1} = -\frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$

* $A^k$を求める。

$A^k = (PDP^{-1})^k = PD^kP^{-1}$

$A^k = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1^k & 0 \\ 0 & (-2)^k \end{pmatrix} \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & (-2)^k \\ 1 & -(-2)^k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$

$A^k = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 + (-2)^k & 2 - 2(-2)^k \\ 1 - (-2)^k & 1 + 2(-2)^k \end{pmatrix}$

(2) 行列Bの対角化

* 固有値を求める。

特性方程式は $|B - \lambda I| = 0$ より、

$\begin{vmatrix} -0.6-\lambda & 0.8 \\ 0.8 & 0.6-\lambda \end{vmatrix} = (-0.6-\lambda)(0.6-\lambda) - 0.8^2 = \lambda^2 - 0.36 - 0.64 = \lambda^2 - 1 = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = -1$ です。

* 固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = 1$ に対して、$(B - I)v_1 = 0$ を解くと、$\begin{pmatrix} -1.6 & 0.8 \\ 0.8 & -0.4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-1.6x + 0.8y = 0$ より、$y = 2x$。よって、固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ (もしくは定数倍)。

$\lambda_2 = -1$ に対して、$(B + I)v_2 = 0$ を解くと、$\begin{pmatrix} 0.4 & 0.8 \\ 0.8 & 1.6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$0.4x + 0.8y = 0$ より、$x = -2y$。よって、固有ベクトルは $v_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ (もしくは定数倍)。

* 対角化する。

$Q = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ とすると、$Q^{-1}BQ = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = D'$ となります。

$Q^{-1} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

* $B^k$を求める。

$B^k = (QD'Q^{-1})^k = QD'^kQ^{-1}$

$B^k = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1^k & 0 \\ 0 & (-1)^k \end{pmatrix} \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 1 & -2(-1)^k \\ 2 & (-1)^k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

$B^k = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 1 + 4(-1)^k & 2 - 2(-1)^k \\ 2 - 2(-1)^k & 4 + (-1)^k \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^k = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 + (-2)^k & 2 - 2(-2)^k \\ 1 - (-2)^k & 1 + 2(-2)^k \end{pmatrix}$

$B^k = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 1 + 4(-1)^k & 2 - 2(-1)^k \\ 2 - 2(-1)^k & 4 + (-1)^k \end{pmatrix}$