ある放物線を$x$軸方向に$-1$、$y$軸方向に$3$だけ平行移動すると、放物線$y=3x^2-6x+7$になる。もとの放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

ある放物線を$x$軸方向に$-1$、$y$軸方向に$3$だけ平行移動すると、放物線$y=3x^2-6x+7$になる。もとの放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = 3x^2 - 6x + 7$を平方完成する。

$y = 3(x^2 - 2x) + 7 = 3(x^2 - 2x + 1 - 1) + 7 = 3(x-1)^2 - 3 + 7 = 3(x-1)^2 + 4$

よって、放物線$y=3x^2-6x+7$の頂点は$(1, 4)$である。

元の放物線を$x$軸方向に$-1$、$y$軸方向に$3$だけ平行移動すると頂点が$(1, 4)$になるので、元の放物線の頂点は$(1-(-1), 4-3) = (2, 1)$である。

平行移動しても$x^2$の係数は変わらないので、元の放物線の方程式は$y = 3(x-2)^2 + 1$と表せる。

展開すると、

$y = 3(x^2 - 4x + 4) + 1 = 3x^2 - 12x + 12 + 1 = 3x^2 - 12x + 13$

3. 最終的な答え

$y = 3x^2 - 12x + 13$