線形変換 $T(x) = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & -3 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \end{bmatrix}x$ について、$\mathbb{R}^3$ から $\mathbb{R}^3$ への基 $B = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$ に関する表現行列を求めます。

## (a) の問題

1. 問題の内容

線形変換 $T(x) = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & -3 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \end{bmatrix}x$ について、$\mathbb{R}^3$ から $\mathbb{R}^3$ への基 $B = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$ に関する表現行列を求めます。

2. 解き方の手順

まず、基 $B$ の各ベクトルを線形変換 $T$ で写像します。次に、$T$ で写像されたベクトルを基 $B$ の線形結合で表します。その係数を列ベクトルとする行列が表現行列となります。

基 $B$ のベクトルを $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $v_3 = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ とします。

$T(v_1) = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & -3 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -4 \\ 7 \end{bmatrix}$

$T(v_2) = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & -3 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -4 \\ 11 \end{bmatrix}$

$T(v_3) = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & -3 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ -5 \\ 13 \end{bmatrix}$

次に、$T(v_1)$, $T(v_2)$, $T(v_3)$ を基 $B$ の線形結合で表します。

$T(v_1) = c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3$

$\begin{bmatrix} 2 \\ -4 \\ 7 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

これを解くと、$c_1 = -15$, $c_2 = 19$, $c_3 = -2$ となります。

$T(v_2) = c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3$

$\begin{bmatrix} 5 \\ -4 \\ 11 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

これを解くと、$c_1 = -26$, $c_2 = 31$, $c_3 = -3$ となります。

$T(v_3) = c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3$

$\begin{bmatrix} 7 \\ -5 \\ 13 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

これを解くと、$c_1 = -34$, $c_2 = 41$, $c_3 = -4$ となります。

よって、表現行列は $\begin{bmatrix} -15 & -26 & -34 \\ 19 & 31 & 41 \\ -2 & -3 & -4 \end{bmatrix}$ となります。

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} -15 & -26 & -34 \\ 19 & 31 & 41 \\ -2 & -3 & -4 \end{bmatrix}$

## (b) の問題

1. 問題の内容

線形変換 $T(x) = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & 3 \end{bmatrix}x$ について、$\mathbb{R}^3$ から $\mathbb{R}^3$ への基 $B = \left\{ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$ に関する表現行列を求めます。

2. 解き方の手順

まず、基 $B$ の各ベクトルを線形変換 $T$ で写像します。次に、$T$ で写像されたベクトルを基 $B$ の線形結合で表します。その係数を列ベクトルとする行列が表現行列となります。

基 $B$ のベクトルを $v_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $v_3 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ とします。

$T(v_1) = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix}$

$T(v_2) = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$

$T(v_3) = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$

次に、$T(v_1)$, $T(v_2)$, $T(v_3)$ を基 $B$ の線形結合で表します。

$T(v_1) = c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3$

$\begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

これを解くと、$c_1 = -3$, $c_2 = 3$, $c_3 = -2$ となります。

$T(v_2) = c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3$

$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

これを解くと、$c_1 = 0$, $c_2 = -1$, $c_3 = 1$ となります。

$T(v_3) = c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3$

$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

これを解くと、$c_1 = -2$, $c_2 = -1$, $c_3 = 1$ となります。

よって、表現行列は $\begin{bmatrix} -3 & 0 & -2 \\ 3 & -1 & -1 \\ -2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ となります。

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} -3 & 0 & -2 \\ 3 & -1 & -1 \\ -2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

## (c) の問題

1. 問題の内容

線形変換 $T(f(x)) = 2f'(x) + 3f(x)$ について、$\mathbb{R}[x]_2$ から $\mathbb{R}[x]_2$ への基 $\{1, x, x^2\}$ に関する表現行列を求めます。

2. 解き方の手順

まず、基の各ベクトル（多項式）を線形変換 $T$ で写像します。次に、$T$ で写像された多項式を基 $\{1, x, x^2\}$ の線形結合で表します。その係数を列ベクトルとする行列が表現行列となります。

基のベクトルを $v_1 = 1$, $v_2 = x$, $v_3 = x^2$ とします。

$T(v_1) = 2(1)' + 3(1) = 0 + 3 = 3$

$T(v_2) = 2(x)' + 3(x) = 2 + 3x$

$T(v_3) = 2(x^2)' + 3(x^2) = 4x + 3x^2$

次に、$T(v_1)$, $T(v_2)$, $T(v_3)$ を基 $\{1, x, x^2\}$ の線形結合で表します。

$T(v_1) = 3 = 3(1) + 0(x) + 0(x^2)$

$T(v_2) = 2 + 3x = 2(1) + 3(x) + 0(x^2)$

$T(v_3) = 4x + 3x^2 = 0(1) + 4(x) + 3(x^2)$

よって、表現行列は $\begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ となります。

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

## (d) の問題

1. 問題の内容

線形変換 $T(f(x)) = 2f'(x) + 3f(x)$ について、$\mathbb{R}[x]_2$ から $\mathbb{R}[x]_2$ への基 $\{1+x, x+x^2, 1-2x^2\}$ に関する表現行列を求めます。

2. 解き方の手順

まず、基の各ベクトル（多項式）を線形変換 $T$ で写像します。次に、$T$ で写像された多項式を基 $\{1+x, x+x^2, 1-2x^2\}$ の線形結合で表します。その係数を列ベクトルとする行列が表現行列となります。

基のベクトルを $v_1 = 1+x$, $v_2 = x+x^2$, $v_3 = 1-2x^2$ とします。

$T(v_1) = 2(1+x)' + 3(1+x) = 2 + 3 + 3x = 5 + 3x$

$T(v_2) = 2(x+x^2)' + 3(x+x^2) = 2(1+2x) + 3x + 3x^2 = 2 + 7x + 3x^2$

$T(v_3) = 2(1-2x^2)' + 3(1-2x^2) = -8x + 3 - 6x^2 = 3 - 8x - 6x^2$

次に、$T(v_1)$, $T(v_2)$, $T(v_3)$ を基 $\{1+x, x+x^2, 1-2x^2\}$ の線形結合で表します。

$T(v_1) = 5 + 3x = c_1(1+x) + c_2(x+x^2) + c_3(1-2x^2)$

$5 + 3x = (c_1+c_3) + (c_1+c_2)x + (c_2-2c_3)x^2$

これを解くと、$c_1+c_3 = 5$, $c_1+c_2 = 3$, $c_2-2c_3 = 0$ となります。

$c_2 = 2c_3$ を $c_1+c_2=3$ に代入して、$c_1 + 2c_3 = 3$。

$c_1+c_3 = 5$ より $c_3 = -2$ となり、$c_2 = -4$、$c_1 = 7$。

$T(v_2) = 2 + 7x + 3x^2 = c_1(1+x) + c_2(x+x^2) + c_3(1-2x^2)$

$2 + 7x + 3x^2 = (c_1+c_3) + (c_1+c_2)x + (c_2-2c_3)x^2$

これを解くと、$c_1+c_3 = 2$, $c_1+c_2 = 7$, $c_2-2c_3 = 3$ となります。

$c_2 = 3 + 2c_3$ を $c_1 + c_2 = 7$に代入すると、$c_1+3+2c_3 = 7$、つまり$c_1 + 2c_3 = 4$

$c_1 + c_3 = 2$ を引いて $c_3 = 2$, $c_2 = 7$, $c_1 = 0$

$T(v_3) = 3 - 8x - 6x^2 = c_1(1+x) + c_2(x+x^2) + c_3(1-2x^2)$

$3 - 8x - 6x^2 = (c_1+c_3) + (c_1+c_2)x + (c_2-2c_3)x^2$

これを解くと、$c_1+c_3 = 3$, $c_1+c_2 = -8$, $c_2-2c_3 = -6$ となります。

$c_2 = -6 + 2c_3$ を $c_1+c_2 = -8$ に代入して、$c_1-6+2c_3 = -8$ より、$c_1 + 2c_3 = -2$。

$c_1 + c_3 = 3$ を引いて、$c_3 = -5$, $c_2 = -16$, $c_1 = 8$.

よって、表現行列は $\begin{bmatrix} 7 & 0 & 8 \\ -4 & 7 & -16 \\ -2 & 2 & -5 \end{bmatrix}$ となります。

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} 7 & 0 & 8 \\ -4 & 7 & -16 \\ -2 & 2 & -5 \end{bmatrix}$