与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。 行列は次の通りです。 $ \begin{vmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\ -4 & -3 & -1 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 2 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。

行列は次の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 0 & -2 & 0 \\

-4 & -3 & -1 & 0 \\

0 & 4 & 0 & 0 \\

0 & 3 & 0 & 2

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、まず第4列に注目します。第4列には0が3つあり、2が1つだけなので、第4列で余因子展開を行うのが効率的です。

行列式は、

$$

\begin{vmatrix}

1 & 0 & -2 & 0 \\

-4 & -3 & -1 & 0 \\

0 & 4 & 0 & 0 \\

0 & 3 & 0 & 2

\end{vmatrix}

= 2 \cdot (-1)^{4+4}

\begin{vmatrix}

1 & 0 & -2 \\

-4 & -3 & -1 \\

0 & 4 & 0

\end{vmatrix}

$$

次に、3x3行列の行列式を計算します。第3行に注目すると、0が2つあるので、第3行で余因子展開を行います。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 0 & -2 \\

-4 & -3 & -1 \\

0 & 4 & 0

\end{vmatrix}

= 0 \cdot C_{31} + 4 \cdot (-1)^{3+2}

\begin{vmatrix}

1 & -2 \\

-4 & -1

\end{vmatrix}

+ 0 \cdot C_{33}

$$

ここで、$C_{ij}$は余因子を表します。

$$

= -4

\begin{vmatrix}

1 & -2 \\

-4 & -1

\end{vmatrix}

$$

2x2行列の行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix}

1 & -2 \\

-4 & -1

\end{vmatrix}

= (1)(-1) - (-2)(-4) = -1 - 8 = -9

$$

したがって、

$$

\begin{vmatrix}

1 & 0 & -2 \\

-4 & -3 & -1 \\

0 & 4 & 0

\end{vmatrix}

= -4 \cdot (-9) = 36

$$

元の4x4行列の行列式は、

$$

\begin{vmatrix}

1 & 0 & -2 & 0 \\

-4 & -3 & -1 & 0 \\

0 & 4 & 0 & 0 \\

0 & 3 & 0 & 2

\end{vmatrix}

= 2 \cdot 36 = 72

$$

3. 最終的な答え

72