初項が -19 の等差数列 $\{a_n\}$ において、$a_3$ から $a_9$ までの和が -28 であるとき、公差を求めよ。

1. 問題の内容

初項が -19 の等差数列 $\{a_n\}$ において、$a_3$ から $a_9$ までの和が -28 であるとき、公差を求めよ。

2. 解き方の手順

等差数列の和の公式を利用して公差を求める。

等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表される。ここで、$a_1$は初項、$d$は公差、$n$は項数である。

$a_3$から$a_9$までの和は、$S = a_3 + a_4 + ... + a_9$と表される。

この和は、$a_1$から$a_9$までの和から、$a_1$と$a_2$を引いたものとも考えられる。

しかし、今回は直接$a_3$から$a_9$までの和を求める。

$a_3$から$a_9$までの項数は $9 - 3 + 1 = 7$ である。

等差数列の和の公式は $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ である。

今回の場合は、$a_3$を初項、$a_9$を末項として考えることができる。

$a_3 = a_1 + 2d = -19 + 2d$

$a_9 = a_1 + 8d = -19 + 8d$

$a_3$から$a_9$までの和 $S$ は以下のように表される。

$S = \frac{7}{2}(a_3 + a_9) = \frac{7}{2}((-19 + 2d) + (-19 + 8d)) = \frac{7}{2}(-38 + 10d) = 7(-19 + 5d) = -133 + 35d$

問題文より、$S = -28$ なので、

$-133 + 35d = -28$

$35d = -28 + 133$

$35d = 105$

$d = \frac{105}{35} = 3$

3. 最終的な答え

公差は 3