行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$、 $B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$が与えられたとき、以下の問いに答える。 (1) $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求めよ。 (2) $YB = A$ を満たす行列 $Y$ を求めよ。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$、 $B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$が与えられたとき、以下の問いに答える。

(1) $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求めよ。

(2) $YB = A$ を満たす行列 $Y$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求める。

$A$ の逆行列 $A^{-1}$ を左から掛けることで、$X$ を求めることができる。

$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ なので、$A^{-1}$ は、

$A^{-1} = \frac{1}{(3)(-1) - (0)(2)} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 \\ \frac{2}{3} & -1 \end{pmatrix}$

$AX = B$ の両辺に左から $A^{-1}$ を掛けると、

$A^{-1}AX = A^{-1}B$

$IX = A^{-1}B$

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 \\ \frac{2}{3} & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3}(3) + 0(-1) & \frac{1}{3}(-1) + 0(2) \\ \frac{2}{3}(3) + (-1)(-1) & \frac{2}{3}(-1) + (-1)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{3} \\ 2+1 & -\frac{2}{3} - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{3} \\ 3 & -\frac{8}{3} \end{pmatrix}$

(2) $YB = A$ を満たす行列 $Y$ を求める。

$B$ の逆行列 $B^{-1}$ を右から掛けることで、$Y$ を求めることができる。

$B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ なので、$B^{-1}$ は、

$B^{-1} = \frac{1}{(3)(2) - (-1)(-1)} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{6-1} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix}$

$YB = A$ の両辺に右から $B^{-1}$ を掛けると、

$YBB^{-1} = AB^{-1}$

$YI = AB^{-1}$

$Y = AB^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3(\frac{2}{5}) + 0(\frac{1}{5}) & 3(\frac{1}{5}) + 0(\frac{3}{5}) \\ 2(\frac{2}{5}) + (-1)(\frac{1}{5}) & 2(\frac{1}{5}) + (-1)(\frac{3}{5}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{6}{5} & \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} - \frac{1}{5} & \frac{2}{5} - \frac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{6}{5} & \frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $X = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{3} \\ 3 & -\frac{8}{3} \end{pmatrix}$

(2) $Y = \begin{pmatrix} \frac{6}{5} & \frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \end{pmatrix}$