行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 10 & -3 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、 $AX = B$ および $YA = B$ を満たす行列 $X$ と $Y$ を求めよ。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 10 & -3 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、

$AX = B$ および $YA = B$ を満たす行列 $X$ と $Y$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$AX = B$ を満たす行列 $X$ を求める。$A$ の逆行列 $A^{-1}$ が存在すれば、$X = A^{-1}B$ となる。

$A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$ の行列式は $3 \cdot 7 - 4 \cdot 5 = 21 - 20 = 1$ である。

したがって、$A$ の逆行列は

$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$

である。

よって、$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 10 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 49-40 & -14+12 \\ -35+30 & 10-9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -2 \\ -5 & 1 \end{pmatrix}$ となる。

次に、$YA = B$ を満たす行列 $Y$ を求める。$A$ の逆行列 $A^{-1}$ が存在するので、$Y = BA^{-1}$ となる。

$Y = BA^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 10 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 49+10 & -28-6 \\ 70+15 & -40-9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 59 & -34 \\ 85 & -49 \end{pmatrix}$ となる。

3. 最終的な答え

$X = \begin{pmatrix} 9 & -2 \\ -5 & 1 \end{pmatrix}$

$Y = \begin{pmatrix} 59 & -34 \\ 85 & -49 \end{pmatrix}$