2次関数 $y = -x^2 - 6x - 5$ の、定義域 $-4 \le x \le 0$ における最小値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 - 6x - 5$ の、定義域 $-4 \le x \le 0$ における最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成して、頂点の座標を求める。

$y = -x^2 - 6x - 5$

$y = -(x^2 + 6x) - 5$

$y = -(x^2 + 6x + 9 - 9) - 5$

$y = -(x + 3)^2 + 9 - 5$

$y = -(x + 3)^2 + 4$

したがって、頂点の座標は $(-3, 4)$ である。

次に、定義域 $-4 \le x \le 0$ の範囲におけるグラフの概形を考える。この2次関数は上に凸な放物線であり、頂点のx座標 $x = -3$ は定義域に含まれている。

定義域の端点におけるyの値を計算する。

$x = -4$ のとき、$y = -(-4)^2 - 6(-4) - 5 = -16 + 24 - 5 = 3$

$x = 0$ のとき、$y = -(0)^2 - 6(0) - 5 = -5$

頂点におけるyの値は4であり、これは最大値となる。最小値は、定義域の端点におけるyの値のうち、小さい方である。

$y(-4) = 3$

$y(0) = -5$

したがって、定義域 $-4 \le x \le 0$ における最小値は $-5$ である。

3. 最終的な答え

最小値：-5