## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた3つの問題を解きます。

1. $x^3 - 6x^2y + 18xy^2 - 27y^3$ を因数分解せよ。

2. $x^4 - 3x^2 - 4$ を因数分解せよ。

3. $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ を因数分解せよ。

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2. 解き方の手順

**問題1:** $x^3 - 6x^2y + 18xy^2 - 27y^3$ の因数分解

1. 与式をよく見ると、$(x - 3y)^3$ を展開した形に似ています。実際に$(x - 3y)^3$ を展開してみます。

$(x - 3y)^3 = x^3 - 3x^2(3y) + 3x(3y)^2 - (3y)^3 = x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3$

与式と$(x-3y)^3$は一致しません。

2. 立方根の公式を使用できるか試します。

$x^3 - 27y^3 = (x - 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2)$

3. ここで、与えられた式が $(x-3y)$ を因数に持つ可能性があると推測し、$x = 3y$ を代入してみます。

$(3y)^3 - 6(3y)^2y + 18(3y)y^2 - 27y^3 = 27y^3 - 54y^3 + 54y^3 - 27y^3 = 0$

したがって、与式は $(x-3y)$ を因数に持ちます。

4. 組立除法を用いて与式を $(x - 3y)$ で割ります。あるいは、$(x-3y)(x^2 + Ax y + By^2)$ の形になると仮定して、係数を比較します。

$(x-3y)(x^2 + Axy + By^2) = x^3 + A x^2 y + Bx y^2 - 3x^2 y -3 Axy^2 -3By^3 = x^3 + (A-3)x^2 y + (B-3A)x y^2 -3By^3$

係数を比較すると以下のようになります。

$A - 3 = -6 \rightarrow A = -3$

$B - 3A = 18 \rightarrow B - 3(-3) = 18 \rightarrow B + 9 = 18 \rightarrow B = 9$

$-3B = -27 \rightarrow B = 9$

したがって、 $x^3 - 6x^2y + 18xy^2 - 27y^3 = (x - 3y)(x^2 - 3xy + 9y^2)$

**問題2:** $x^4 - 3x^2 - 4$ の因数分解

1. $x^2 = t$ と置換すると、 $t^2 - 3t - 4$ となります。

2. この2次式を因数分解します。

$t^2 - 3t - 4 = (t - 4)(t + 1)$

3. $t$ を $x^2$ に戻します。

$(x^2 - 4)(x^2 + 1)$

4. $(x^2 - 4)$ はさらに因数分解できます。

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

5. したがって、$x^4 - 3x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 1)$

**問題3:** $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ の因数分解

1. 式を展開します。

$a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2) = ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

2. 式を整理します。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2 = ab^2 - ba^2 + ca^2 - ac^2 + bc^2 - cb^2 = ab(b-a) + c^2(b-a) - c(b^2 - a^2)$

3. $(b - a)$ を共通因数としてくくり出します。

$= -ab(a-b) - c^2(a-b) + c(a+b)(a-b)$

$= (a-b)(-ab-c^2+ac+bc)$

$= (a-b)(ac - ab + bc - c^2)$

4. $(ac - ab + bc - c^2)$ を因数分解します。

$= a(c - b) - c(c - b)$

$= (a - c)(c - b)$

$= -(a-c)(b-c)$

$= (c-a)(b-c)$

5. したがって、$a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2) = -(a - b)(b - c)(a - c) = (a-b)(c-b)(c-a) = (a-b)(b-c)(c-a)$

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3. 最終的な答え

1. $x^3 - 6x^2y + 18xy^2 - 27y^3 = (x - 3y)(x^2 - 3xy + 9y^2)$

2. $x^4 - 3x^2 - 4 = (x^2 + 1)(x + 2)(x - 2)$

3. $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2) = (a - b)(b - c)(c - a)$