次の等式が成り立つことを証明する問題です。 (1) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、 $\frac{a+c}{b+d} = \frac{ad+bc}{2bd}$ を証明する。 (2) $\frac{x}{b-c} = \frac{y}{c-a} = \frac{z}{a-b}$ のとき、 $(b+c)x + (c+a)y + (a+b)z = 0$ を証明する。

1. 問題の内容

次の等式が成り立つことを証明する問題です。

(1) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、 $\frac{a+c}{b+d} = \frac{ad+bc}{2bd}$ を証明する。

(2) $\frac{x}{b-c} = \frac{y}{c-a} = \frac{z}{a-b}$ のとき、 $(b+c)x + (c+a)y + (a+b)z = 0$ を証明する。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、$\frac{a+c}{b+d} = \frac{ad+bc}{2bd}$ を証明する。

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ より、$ad = bc$ が成り立つ。

右辺を変形すると、

$\frac{ad+bc}{2bd} = \frac{bc+bc}{2bd} = \frac{2bc}{2bd} = \frac{c}{d}$ となる。

同様に、

$\frac{ad+bc}{2bd} = \frac{ad+ad}{2bd} = \frac{2ad}{2bd} = \frac{a}{b}$ となる。

ここで、$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ とおくと、$a = bk$、$c = dk$ となる。

左辺は、

$\frac{a+c}{b+d} = \frac{bk+dk}{b+d} = \frac{k(b+d)}{b+d} = k$ となる。

したがって、$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}$ が成り立つので、$\frac{a+c}{b+d} = k$。

右辺について、

$\frac{ad+bc}{2bd}$について、$ad=bc$より、$\frac{ad+ad}{2bd} = \frac{2ad}{2bd} = \frac{a}{b}$

同様に、$\frac{bc+bc}{2bd} = \frac{2bc}{2bd} = \frac{c}{d}$

したがって$\frac{a+c}{b+d} = \frac{ad+bc}{2bd}$は一般には成り立たない

ただし、$ad = bc$のときのみ成立する。

(2) $\frac{x}{b-c} = \frac{y}{c-a} = \frac{z}{a-b}$ のとき、 $(b+c)x + (c+a)y + (a+b)z = 0$ を証明する。

$\frac{x}{b-c} = \frac{y}{c-a} = \frac{z}{a-b} = k$ とおくと、$x = k(b-c)$、$y = k(c-a)$、$z = k(a-b)$ となる。

$(b+c)x + (c+a)y + (a+b)z = (b+c)k(b-c) + (c+a)k(c-a) + (a+b)k(a-b)$

$= k[(b^2-c^2) + (c^2-a^2) + (a^2-b^2)] = k[b^2-c^2+c^2-a^2+a^2-b^2] = k[0] = 0$

したがって、$(b+c)x + (c+a)y + (a+b)z = 0$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{a+c}{b+d} = \frac{ad+bc}{2bd}$は$ad=bc$の場合にのみ成り立つ

(2) $(b+c)x + (c+a)y + (a+b)z = 0$