$a$ は正の定数とする。$0 \le x \le a$ における関数 $f(x) = x^2 - 2x - 3$ について、次の問いに答えよ。 (1) 最小値を求めよ。 (2) 最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。$0 \le x \le a$ における関数 $f(x) = x^2 - 2x - 3$ について、次の問いに答えよ。

(1) 最小値を求めよ。

(2) 最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 最小値を求める。

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 2x - 3 = (x - 1)^2 - 4$

軸は $x = 1$ である。

(i) $a < 1$ のとき

$0 \le x \le a$ の範囲では $f(x)$ は単調減少であるため、$x = a$ で最小値をとる。

最小値は $f(a) = a^2 - 2a - 3$

(ii) $a = 1$ のとき

$0 \le x \le 1$ の範囲では $f(x)$ は単調減少であるため、$x = 1$ で最小値をとる。

最小値は $f(1) = 1^2 - 2(1) - 3 = -4$

(iii) $a > 1$ のとき

$0 \le x \le a$ の範囲に軸 $x = 1$ が含まれるため、$x = 1$ で最小値をとる。

最小値は $f(1) = 1^2 - 2(1) - 3 = -4$

以上より、

$0 < a \le 1$ のとき、最小値は $a^2 - 2a - 3$

$a > 1$ のとき、最小値は $-4$

(2) 最大値を求める。

軸は $x = 1$ である。定義域は $0 \le x \le a$ である。

$x=0$と軸の距離は$|0-1|=1$

$x=a$と軸の距離は$|a-1|$

(i) $0 < a < 2$ のとき

$a < 2$ より $a-1 < 1$ となるので、$x = 0$ で最大値をとる。

最大値は $f(0) = 0^2 - 2(0) - 3 = -3$

(ii) $a = 2$ のとき

$f(0) = -3$

$f(2) = 2^2 - 2(2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3$

$x = 0, 2$ で最大値をとる。

最大値は $-3$

(iii) $a > 2$ のとき

$a-1 > 1$ となるので、$x = a$ で最大値をとる。

最大値は $f(a) = a^2 - 2a - 3$

以上より、

$0 < a \le 2$ のとき、最大値は $-3$

$a > 2$ のとき、最大値は $a^2 - 2a - 3$

3. 最終的な答え

(1) 最小値：

$0 < a \le 1$ のとき、$a^2 - 2a - 3$

$a > 1$ のとき、$-4$

(2) 最大値：

$0 < a \le 2$ のとき、$-3$

$a > 2$ のとき、$a^2 - 2a - 3$