与えられた二つの不等式を証明し、さらに等号が成り立つ条件を求める問題です。 (1) $x^2 + y^2 \geq xy$ (2) $x^2 + 2y^2 + 2xy + 2x + 6y + 5 \geq 0$

1. 問題の内容

与えられた二つの不等式を証明し、さらに等号が成り立つ条件を求める問題です。

(1) $x^2 + y^2 \geq xy$

(2) $x^2 + 2y^2 + 2xy + 2x + 6y + 5 \geq 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + y^2 \geq xy$ の証明

まず、$x^2 + y^2 - xy \geq 0$ を示します。

両辺に $x^2 + y^2 - xy$ を変形します。

$x^2 + y^2 - xy = x^2 - xy + y^2 = x^2 - xy + \frac{1}{4}y^2 + \frac{3}{4}y^2 = (x - \frac{1}{2}y)^2 + \frac{3}{4}y^2$

$(x - \frac{1}{2}y)^2 \geq 0$ かつ $\frac{3}{4}y^2 \geq 0$ なので、 $(x - \frac{1}{2}y)^2 + \frac{3}{4}y^2 \geq 0$

したがって、$x^2 + y^2 \geq xy$ が成立します。

等号が成り立つのは、$(x - \frac{1}{2}y)^2 = 0$ かつ $\frac{3}{4}y^2 = 0$ のときです。これは、$x - \frac{1}{2}y = 0$ かつ $y = 0$ のときなので、$x = 0$ かつ $y = 0$ です。

(2) $x^2 + 2y^2 + 2xy + 2x + 6y + 5 \geq 0$ の証明

与えられた不等式を平方完成します。

$x^2 + 2y^2 + 2xy + 2x + 6y + 5 = x^2 + (2y+2)x + 2y^2 + 6y + 5$

$= (x + y + 1)^2 - (y+1)^2 + 2y^2 + 6y + 5 = (x + y + 1)^2 - (y^2 + 2y + 1) + 2y^2 + 6y + 5$

$= (x + y + 1)^2 + y^2 + 4y + 4 = (x + y + 1)^2 + (y + 2)^2$

$(x + y + 1)^2 \geq 0$ かつ $(y + 2)^2 \geq 0$ なので、$(x + y + 1)^2 + (y + 2)^2 \geq 0$

したがって、$x^2 + 2y^2 + 2xy + 2x + 6y + 5 \geq 0$ が成立します。

等号が成り立つのは、$(x + y + 1)^2 = 0$ かつ $(y + 2)^2 = 0$ のときです。これは、$x + y + 1 = 0$ かつ $y + 2 = 0$ のときなので、$y = -2$ かつ $x = -(-2) - 1 = 2 - 1 = 1$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 \geq xy$ は成立する。等号が成り立つのは $x = 0$ かつ $y = 0$ のとき。

(2) $x^2 + 2y^2 + 2xy + 2x + 6y + 5 \geq 0$ は成立する。等号が成り立つのは $x = 1$ かつ $y = -2$ のとき。