袋の中に赤玉が1個、白玉が3個入っている。袋から1個の玉を取り出し、色を記録して元に戻す。これを繰り返し、赤玉が3回記録された時点で終了する。 (8) 3回玉を取り出した時点で終了する確率を求める。 (9) 終了までに取り出す回数がちょうど4回となる確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が1個、白玉が3個入っている。袋から1個の玉を取り出し、色を記録して元に戻す。これを繰り返し、赤玉が3回記録された時点で終了する。

(8) 3回玉を取り出した時点で終了する確率を求める。

(9) 終了までに取り出す回数がちょうど4回となる確率を求める。

2. 解き方の手順

(8) 3回で終了するのは、3回とも赤玉が出る場合のみである。

1回に赤玉が出る確率は $\frac{1}{4}$ である。

したがって、3回とも赤玉が出る確率は、

$P(3回で終了) = (\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}$

(9) 終了までに取り出す回数がちょうど4回となるのは、3回目までに赤玉が2回出て、4回目に赤玉が出る場合である。

3回目までに赤玉が2回出る確率は、反復試行の確率の公式を使う。

${}_3 C_2 (\frac{1}{4})^2 (\frac{3}{4})^1 = 3 \times \frac{1}{16} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{64}$

4回目に赤玉が出る確率は $\frac{1}{4}$ である。

したがって、4回で終了する確率は、

$P(4回で終了) = \frac{9}{64} \times \frac{1}{4} = \frac{9}{256}$

3. 最終的な答え

(8) $\frac{1}{64}$

(9) $\frac{9}{256}$