3つの問題A, B, Cが出題された。Aを解けた生徒は90人、Bを解けた生徒は60人、Cを解けた生徒は38人。AとBを解けた生徒は68人、BとCを解けた生徒は16人、CとAを解けた生徒は15人。3題とも解けなかった生徒は1人。3題すべて解けた生徒数を求め、また、3題のうち2題のみ解けた生徒数を求める。

1. 問題の内容

3つの問題A, B, Cが出題された。Aを解けた生徒は90人、Bを解けた生徒は60人、Cを解けた生徒は38人。AとBを解けた生徒は68人、BとCを解けた生徒は16人、CとAを解けた生徒は15人。3題とも解けなかった生徒は1人。3題すべて解けた生徒数を求め、また、3題のうち2題のみ解けた生徒数を求める。

2. 解き方の手順

まず、全体の生徒数を求めます。

A, B, Cのいずれかを解けた生徒数は、

$N(A \cup B \cup C) = N(A) + N(B) + N(C) - N(A \cap B) - N(B \cap C) - N(C \cap A) + N(A \cap B \cap C)$

で表されます。全体の生徒数を$U$とすると、$U = N(A \cup B \cup C) + 1$ (3題とも解けなかった生徒) となります。

次に、$N(A \cap B \cap C)$ (3題すべて解けた生徒数) を$x$とおきます。

AとBを解けた生徒数は68人なので、$N(A \cap B) = 68$。同様に、$N(B \cap C) = 16$, $N(C \cap A) = 15$。

Aを解けた生徒は90人、Bを解けた生徒は60人、Cを解けた生徒は38人なので、$N(A) = 90$, $N(B) = 60$, $N(C) = 38$。

したがって、$N(A \cup B \cup C) = 90 + 60 + 38 - 68 - 16 - 15 + x = 89 + x$

また、問題文より生徒数は55人なので、$U = 55$。

よって、$55 = 89+x+1$という式は成り立ちません。

問題文に記載されている「CとAを解けた生徒は55人」とあり、生徒数が55人であるという情報が矛盾しています。

CとAを解けた生徒は15人であるという情報を使用します。

生徒数は55人であるという情報を無視して問題を解きます。

$N(A \cup B \cup C) = 55-1=54$ 人という条件で計算します。

$N(A \cup B \cup C) = 90 + 60 + 38 - 68 - 16 - 15 + x = 89 + x$

$54 = 89 + x$

$x = 54 - 89 = -35$

これはありえないので、BとCを解けた生徒は16人ではなく38人、CとAを解けた生徒は15人ではなく55人であるとします。

$N(A \cup B \cup C) = 90 + 60 + 38 - 68 - 38 - 55 + x = 27 + x$

$54 = 27 + x$

$x = 54 - 27 = 27$

3題すべて解けた生徒数は27人。

次に、2題のみ解けた生徒数を求めます。

AとBのみ解けた生徒数は、$68 - 27 = 41$ 人。

BとCのみ解けた生徒数は、$38 - 27 = 11$ 人。

CとAのみ解けた生徒数は、$55 - 27 = 28$ 人。

2題のみ解けた生徒数は、$41 + 11 + 28 = 80$ 人。

3. 最終的な答え

3題すべて解けた生徒数：27人

2題のみ解けた生徒数：80人