100人の生徒に3つの問題A, B, Cを出題したところ、Aを解けた生徒は90人、Bを解けた生徒は75人、Cを解けた生徒は60人、AとBを解けた生徒は68人、BとCを解けた生徒は38人、CとAを解けた生徒は55人、3題とも解けなかった生徒は1人であった。このとき、3題すべて解けた生徒は何人か。また、3題のうち2題のみ解けた生徒は何人か。

1. 問題の内容

100人の生徒に3つの問題A, B, Cを出題したところ、Aを解けた生徒は90人、Bを解けた生徒は75人、Cを解けた生徒は60人、AとBを解けた生徒は68人、BとCを解けた生徒は38人、CとAを解けた生徒は55人、3題とも解けなかった生徒は1人であった。このとき、3題すべて解けた生徒は何人か。また、3題のうち2題のみ解けた生徒は何人か。

2. 解き方の手順

まず、集合の要素の個数に関する公式を利用する。全体集合をU、A, B, Cをそれぞれ問題を解けた生徒の集合とすると、

$n(U) = 100$

$n(A) = 90$

$n(B) = 75$

$n(C) = 60$

$n(A \cap B) = 68$

$n(B \cap C) = 38$

$n(C \cap A) = 55$

3題とも解けなかった生徒は1人なので、$n(\overline{A \cup B \cup C}) = 1$

$n(A \cup B \cup C) = n(U) - n(\overline{A \cup B \cup C}) = 100 - 1 = 99$

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

$99 = 90 + 75 + 60 - 68 - 38 - 55 + n(A \cap B \cap C)$

$99 = 175 + 60 - 68 - 38 - 55 + n(A \cap B \cap C)$

$99 = 235 - 161 + n(A \cap B \cap C)$

$99 = 74 + n(A \cap B \cap C)$

$n(A \cap B \cap C) = 99 - 74 = 25$

よって、3題すべて解けた生徒は25人。

次に、2題のみ解けた生徒の数を求める。

AとBのみ解けた人数: $n(A \cap B) - n(A \cap B \cap C) = 68 - 25 = 43$

BとCのみ解けた人数: $n(B \cap C) - n(A \cap B \cap C) = 38 - 25 = 13$

CとAのみ解けた人数: $n(C \cap A) - n(A \cap B \cap C) = 55 - 25 = 30$

したがって、2題のみ解けた生徒の数は、

$43 + 13 + 30 = 86$人

3. 最終的な答え

3題すべて解けた生徒は25人。

3題のうち2題のみ解けた生徒は86人。