実数 $k$ に対して、曲線 $C: y = x^2 - 5x + 6 - 3|x-2|$ と直線 $l: y = k(x-2)$ が異なる3つの共有点を持つときの、$k$ の取りうる範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $k$ に対して、曲線 $C: y = x^2 - 5x + 6 - 3|x-2|$ と直線 $l: y = k(x-2)$ が異なる3つの共有点を持つときの、$k$ の取りうる範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、絶対値を外すために場合分けを行います。

(i) $x \geq 2$ のとき:

$|x-2| = x-2$ なので、曲線 $C$ は

$y = x^2 - 5x + 6 - 3(x-2) = x^2 - 8x + 12 = (x-2)(x-6)$

となります。

(ii) $x < 2$ のとき:

$|x-2| = -(x-2) = 2-x$ なので、曲線 $C$ は

$y = x^2 - 5x + 6 - 3(2-x) = x^2 - 5x + 6 - 6 + 3x = x^2 - 2x = x(x-2)$

となります。

次に、曲線 $C$ と直線 $l$ の共有点の $x$ 座標を求めます。つまり、

$x^2 - 5x + 6 - 3|x-2| = k(x-2)$

を満たす $x$ を求めます。

(i) $x \geq 2$ のとき:

$(x-2)(x-6) = k(x-2)$

$(x-2)(x-6 - k) = 0$

よって、$x = 2$ または $x = k+6$。

(ii) $x < 2$ のとき:

$x(x-2) = k(x-2)$

$(x-2)(x-k) = 0$

よって、$x = 2$ または $x = k$。

$x=2$ は常に共有点の $x$ 座標となります。

異なる3つの共有点を持つためには、$x \geq 2$ において $x = k+6$ が存在し、$x < 2$ において $x = k$ が存在し、かつ $k+6 \neq k$ でなければなりません（これは常に成立）。さらに、$x=k+6$ と $x=k$ が $x=2$ と一致してはならないため、$k+6 \neq 2$ かつ $k \neq 2$ である必要があります。つまり、$k \neq -4$ かつ $k \neq 2$ です。

$x \geq 2$ で $x = k+6$ となるためには、$k+6 \geq 2$ より $k \geq -4$ が必要です。

$x < 2$ で $x = k$ となるためには、$k < 2$ が必要です。

したがって、$k$ の範囲は $-4 \leq k < 2$ かつ $k \neq -4$ であるので、$-4 < k < 2$ となります。

3. 最終的な答え

$-4 < k < 2$