複素数 $z$ が与えられた方程式を満たすとき、点 $z$ 全体の集合がどのような図形になるかを答える問題です。具体的には以下の4つの問題があります。 (1) $z + \bar{z} = 2$ (2) $z - \bar{z} = 2i$ (3) $|z - i| = |iz - 1|$ (4) $2z\bar{z} + z + \bar{z} + i(z - \bar{z}) = 1$

1. 問題の内容

複素数 $z$ が与えられた方程式を満たすとき、点 $z$ 全体の集合がどのような図形になるかを答える問題です。具体的には以下の4つの問題があります。

(1) $z + \bar{z} = 2$

(2) $z - \bar{z} = 2i$

(3) $|z - i| = |iz - 1|$

(4) $2z\bar{z} + z + \bar{z} + i(z - \bar{z}) = 1$

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を $z = x + yi$ ($x, y$ は実数) とおき、共役複素数を $\bar{z} = x - yi$ と表します。各式に代入し、$x$ と $y$ の関係式を求め、それが表す図形を判定します。

(1) $z + \bar{z} = 2$

$x + yi + x - yi = 2$

$2x = 2$

$x = 1$

これは、$x = 1$ を満たす直線を表します。

(2) $z - \bar{z} = 2i$

$x + yi - (x - yi) = 2i$

$2yi = 2i$

$2y = 2$

$y = 1$

これは、$y = 1$ を満たす直線を表します。

(3) $|z - i| = |iz - 1|$

$|x + yi - i| = |i(x + yi) - 1|$

$|x + (y - 1)i| = |ix - y - 1|$

$|x + (y - 1)i| = |-(y + 1) + xi|$

$\sqrt{x^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{(y + 1)^2 + x^2}$

両辺を2乗して、

$x^2 + (y - 1)^2 = x^2 + (y + 1)^2$

$(y - 1)^2 = (y + 1)^2$

$y^2 - 2y + 1 = y^2 + 2y + 1$

$-2y = 2y$

$4y = 0$

$y = 0$

これは、$y = 0$ を満たす直線（つまり、$x$軸）を表します。

(4) $2z\bar{z} + z + \bar{z} + i(z - \bar{z}) = 1$

$2(x + yi)(x - yi) + x + yi + x - yi + i(x + yi - (x - yi)) = 1$

$2(x^2 + y^2) + 2x + i(2yi) = 1$

$2x^2 + 2y^2 + 2x - 2y = 1$

$2x^2 + 2x + 2y^2 - 2y = 1$

$2(x^2 + x) + 2(y^2 - y) = 1$

$2(x^2 + x + \frac{1}{4}) + 2(y^2 - y + \frac{1}{4}) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$2(x + \frac{1}{2})^2 + 2(y - \frac{1}{2})^2 = 2$

$(x + \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = 1$

これは、中心が $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ で半径が $1$ の円を表します。

3. 最終的な答え

(1) 直線 $x = 1$

(2) 直線 $y = 1$

(3) 直線 $y = 0$ (実軸)

(4) 中心 $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, 半径 $1$ の円