実数 $R$ 上の二項関係 $\rho_1, \rho_2, \rho_3, \rho_4$ が以下のように定義されている。 $G(\rho_1) = \{(x, y) | x \geq 0, y \geq 0\}$ $G(\rho_2) = \{(x, y) | x \leq y\}$ $G(\rho_3) = \{(x, y) | (x - y)(x + y - 1) = 0\}$ $G(\rho_4) = \{(x, y) | (x - y)(x - y + 1)(x - y - 1) = 0\}$ これらの二項関係が、反射律、対称律、推移律、反対称律のうち、どれを満たしているかを判定する。

1. 問題の内容

実数 $R$ 上の二項関係 $\rho_1, \rho_2, \rho_3, \rho_4$ が以下のように定義されている。

$G(\rho_1) = \{(x, y) | x \geq 0, y \geq 0\}$

$G(\rho_2) = \{(x, y) | x \leq y\}$

$G(\rho_3) = \{(x, y) | (x - y)(x + y - 1) = 0\}$

$G(\rho_4) = \{(x, y) | (x - y)(x - y + 1)(x - y - 1) = 0\}$

これらの二項関係が、反射律、対称律、推移律、反対称律のうち、どれを満たしているかを判定する。

2. 解き方の手順

各関係 $\rho_i$ について、それぞれの性質を調べる。

* 反射律: 任意の $x \in R$ に対して $(x, x) \in G(\rho_i)$ が成り立つか。

* 対称律: 任意の $x, y \in R$ に対して $(x, y) \in G(\rho_i)$ ならば $(y, x) \in G(\rho_i)$ が成り立つか。

* 推移律: 任意の $x, y, z \in R$ に対して $(x, y) \in G(\rho_i)$ かつ $(y, z) \in G(\rho_i)$ ならば $(x, z) \in G(\rho_i)$ が成り立つか。

* 反対称律: 任意の $x, y \in R$ に対して $(x, y) \in G(\rho_i)$ かつ $(y, x) \in G(\rho_i)$ ならば $x = y$ が成り立つか。

**$\rho_1$ について**

* 反射律: $x \geq 0$ ならば $(x, x) \in G(\rho_1)$ となるためには $x \geq 0$ でなければならない。しかし、$x < 0$ の場合も考えられるので、反射律は満たさない。

* 対称律: $(x, y) \in G(\rho_1)$ ならば $x \geq 0$ かつ $y \geq 0$ である。このとき $(y, x) \in G(\rho_1)$ となるためには $y \geq 0$ かつ $x \geq 0$ でなければならない。これは常に成り立つので、対称律を満たす。

* 推移律: $(x, y) \in G(\rho_1)$ ならば $x \geq 0$ かつ $y \geq 0$ であり、$(y, z) \in G(\rho_1)$ ならば $y \geq 0$ かつ $z \geq 0$ である。このとき $(x, z) \in G(\rho_1)$ となるためには $x \geq 0$ かつ $z \geq 0$ でなければならない。これは常に成り立つので、推移律を満たす。

* 反対称律: $(x, y) \in G(\rho_1)$ かつ $(y, x) \in G(\rho_1)$ ならば $x \geq 0$ かつ $y \geq 0$ かつ $y \geq 0$ かつ $x \geq 0$ である。$x = y$ とは限らないので、反対称律は満たさない。

**$\rho_2$ について**

* 反射律: 任意の $x \in R$ に対して $x \leq x$ は常に成り立つので、反射律を満たす。

* 対称律: $x \leq y$ ならば $y \leq x$ とは限らないので、対称律は満たさない。

* 推移律: $x \leq y$ かつ $y \leq z$ ならば $x \leq z$ なので、推移律を満たす。

* 反対称律: $x \leq y$ かつ $y \leq x$ ならば $x = y$ なので、反対称律を満たす。

**$\rho_3$ について**

* 反射律: $(x - x)(x + x - 1) = 0 \cdot (2x - 1) = 0$ なので、反射律を満たす。

* 対称律: $(x, y) \in G(\rho_3)$ ならば $(x - y)(x + y - 1) = 0$ である。$(y, x) \in G(\rho_3)$ となるためには $(y - x)(y + x - 1) = 0$ でなければならない。

$(x - y)(x + y - 1) = 0$ のとき、$x = y$ または $x + y = 1$ である。

$x = y$ のとき、$(y - x)(y + x - 1) = 0$ は成り立つ。

$x + y = 1$ のとき、$(y - x)(y + x - 1) = (y - x)(1 - 1) = 0$ は成り立つ。

したがって、対称律を満たす。

* 推移律: $(x, y) \in G(\rho_3)$ かつ $(y, z) \in G(\rho_3)$ とする。

$(x - y)(x + y - 1) = 0$ かつ $(y - z)(y + z - 1) = 0$ である。

$x = y$ かつ $y = z$ ならば $x = z$ である。このとき $(x - z)(x + z - 1) = (x - x)(x + x - 1) = 0$ となり、$(x, z) \in G(\rho_3)$ となる。

$x = y$ かつ $y + z = 1$ ならば $x + z = 1$ である。このとき $(x - z)(x + z - 1) = (x - z)(1 - 1) = 0$ となり、$(x, z) \in G(\rho_3)$ となる。

$x + y = 1$ かつ $y = z$ ならば $x + z = 1$ である。このとき $(x - z)(x + z - 1) = (x - z)(1 - 1) = 0$ となり、$(x, z) \in G(\rho_3)$ となる。

$x + y = 1$ かつ $y + z = 1$ ならば $x + y = y + z$ より $x = z$ となる。したがって、$(x - z)(x + z - 1) = 0$ となるので、推移律を満たす。

* 反対称律: $(x, y) \in G(\rho_3)$ かつ $(y, x) \in G(\rho_3)$ とする。

$(x - y)(x + y - 1) = 0$ かつ $(y - x)(y + x - 1) = 0$ である。

したがって、$x = y$ または $x + y = 1$ である。$y = x$ または $y + x = 1$ である。

よって、反対称律を満たすとは限らない。

**$\rho_4$ について**

* 反射律: $(x - x)(x - x + 1)(x - x - 1) = 0 \cdot 1 \cdot (-1) = 0$ なので、反射律を満たす。

* 対称律: $(x, y) \in G(\rho_4)$ ならば $(x - y)(x - y + 1)(x - y - 1) = 0$ である。$(y, x) \in G(\rho_4)$ となるためには $(y - x)(y - x + 1)(y - x - 1) = 0$ でなければならない。

$(x - y)(x - y + 1)(x - y - 1) = 0$ ならば、$x = y$ または $x = y - 1$ または $x = y + 1$ である。

$x = y$ のとき、$(y - x)(y - x + 1)(y - x - 1) = 0$ は成り立つ。

$x = y - 1$ のとき、$(y - x)(y - x + 1)(y - x - 1) = (1)(2)(0) = 0$ は成り立つ。

$x = y + 1$ のとき、$(y - x)(y - x + 1)(y - x - 1) = (-1)(0)(-2) = 0$ は成り立つ。

したがって、$(y - x)(y - x + 1)(y - x - 1) = 0$ が成り立つので、対称律を満たす。

* 推移律: 反例として、$x = 0, y = 1, z = 2$ を考える。

$(x, y) \in G(\rho_4)$ より、$(0 - 1)(0 - 1 + 1)(0 - 1 - 1) = (-1)(0)(-2) = 0$ である。

$(y, z) \in G(\rho_4)$ より、$(1 - 2)(1 - 2 + 1)(1 - 2 - 1) = (-1)(0)(-2) = 0$ である。

$(x, z) \in G(\rho_4)$ を確かめると、$(0 - 2)(0 - 2 + 1)(0 - 2 - 1) = (-2)(-1)(-3) = -6 \neq 0$ である。

したがって、推移律を満たさない。

* 反対称律: $(x, y) \in G(\rho_4)$ かつ $(y, x) \in G(\rho_4)$ とする。

$(x - y)(x - y + 1)(x - y - 1) = 0$ かつ $(y - x)(y - x + 1)(y - x - 1) = 0$ である。

したがって、$x = y$ または $x = y - 1$ または $x = y + 1$ であり、$y = x$ または $y = x - 1$ または $y = x + 1$ である。

よって、$x = y$ または $x = y + 1 = x - 1 + 1 = x$　または $x = y - 1 = x + 1 - 1 = x$ なので、反対称律を満たさない。

3. 最終的な答え

* $\rho_1$: 対称律、推移律

* $\rho_2$: 反射律、推移律、反対称律

* $\rho_3$: 反射律、対称律、推移律

* $\rho_4$: 反射律、対称律