与えられた4つの二次関数について、最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた4つの二次関数について、最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y = 3x^2 + 2$

これは $x^2$ の係数が正であるため、下に凸の放物線です。したがって、最小値を持ちますが、最大値はありません。

$x=0$ のとき、最小値 $y=2$ をとります。

(2) $y = -(x-1)^2 + 5$

これは $x^2$ の係数が負であるため、上に凸の放物線です。したがって、最大値を持ちますが、最小値はありません。

$x=1$ のとき、最大値 $y=5$ をとります。

(3) $y = x^2 - 4x - 4$

平方完成を行います。

$y = (x - 2)^2 - 4 - 4 = (x - 2)^2 - 8$

これは $x^2$ の係数が正であるため、下に凸の放物線です。したがって、最小値を持ちますが、最大値はありません。

$x=2$ のとき、最小値 $y=-8$ をとります。

(4) $y = -x^2 + 6x + 1$

平方完成を行います。

$y = -(x^2 - 6x) + 1 = -(x - 3)^2 + 9 + 1 = -(x - 3)^2 + 10$

これは $x^2$ の係数が負であるため、上に凸の放物線です。したがって、最大値を持ちますが、最小値はありません。

$x=3$ のとき、最大値 $y=10$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: 2, 最大値: なし

(2) 最大値: 5, 最小値: なし

(3) 最小値: -8, 最大値: なし

(4) 最大値: 10, 最小値: なし