問題は３つあります。 (1) $a = \frac{4}{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}$ の分母を有理化して簡単にします。 (2) $a + \frac{2}{a}$ の値と $a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めます。 (3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めます。

1. 問題の内容

問題は３つあります。

(1) $a = \frac{4}{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}$ の分母を有理化して簡単にします。

(2) $a + \frac{2}{a}$ の値と $a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めます。

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化します。

$a = \frac{4}{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}$

$a = \frac{4}{3\sqrt{2}-\sqrt{10}} \times \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}$

$a = \frac{4(3\sqrt{2}+\sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2}$

$a = \frac{12\sqrt{2}+4\sqrt{10}}{18-10}$

$a = \frac{12\sqrt{2}+4\sqrt{10}}{8}$

$a = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求めます。

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2} + \frac{2}{\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}}$

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2} + \frac{4}{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}$

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2} + \frac{4(3\sqrt{2}-\sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2}$

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2} + \frac{12\sqrt{2}-4\sqrt{10}}{18-10}$

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2} + \frac{12\sqrt{2}-4\sqrt{10}}{8}$

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2} + \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}$

$a + \frac{2}{a} = \frac{6\sqrt{2}}{2}$

$a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$

$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めます。

$(a + \frac{2}{a})^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{2}{a} + \frac{4}{a^2} = a^2 + 4 + \frac{4}{a^2}$

$a^2 + \frac{4}{a^2} = (a + \frac{2}{a})^2 - 4$

$a^2 + \frac{4}{a^2} = (3\sqrt{2})^2 - 4$

$a^2 + \frac{4}{a^2} = 18 - 4$

$a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めます。

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = (a^2 + \frac{4}{a^2})(a^2 - \frac{4}{a^2}) - \frac{8}{a^2} - 1$

$= (a^2 + \frac{4}{a^2})(a + \frac{2}{a})(a - \frac{2}{a}) - \frac{8}{a^2} - 1$

$a - \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2} - \frac{2}{\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}}$

$a - \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2} - \frac{4}{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}$

$a - \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2} - \frac{4(3\sqrt{2}-\sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2}$

$a - \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2} - \frac{12\sqrt{2}-4\sqrt{10}}{18-10}$

$a - \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2} - \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}$

$a - \frac{2}{a} = \frac{2\sqrt{10}}{2}$

$a - \frac{2}{a} = \sqrt{10}$

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = 14 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{10} - \frac{8}{(\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2})^2} - 1$

$= 42 \sqrt{20} - \frac{8}{\frac{18+6\sqrt{20}+10}{4}} - 1 = 84 \sqrt{5} - \frac{32}{28+12\sqrt{5}} - 1$

別の方法で計算してみます。

$(a^2 + \frac{4}{a^2})^2 = a^4 + 8 + \frac{16}{a^4}$

$a^4 + \frac{16}{a^4} = 14^2 - 8 = 196 - 8 = 188$

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = 188 - 2 \cdot \frac{16}{a^4} - 8 \cdot \frac{1}{a^2} - 1$

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = a^4 - (2/a)^4 -2(2/a)^2 - 1$

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = (a^2 + \frac{4}{a^2})(a^2 - \frac{4}{a^2}) - \frac{8}{a^2} - 1$

$= 14(a^2 - \frac{4}{a^2}) - \frac{8}{a^2} - 1$

$a^2 = (\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2})^2 = \frac{18 + 6\sqrt{20}+10}{4} = \frac{28+12\sqrt{5}}{4} = 7+3\sqrt{5}$

$\frac{4}{a^2} = \frac{4}{7+3\sqrt{5}} = \frac{4(7-3\sqrt{5})}{49-45} = \frac{4(7-3\sqrt{5})}{4} = 7-3\sqrt{5}$

$a^2 - \frac{4}{a^2} = 7+3\sqrt{5} - (7-3\sqrt{5}) = 6\sqrt{5}$

$\frac{8}{a^2} = 2(7-3\sqrt{5}) = 14-6\sqrt{5}$

$14(6\sqrt{5}) - (14-6\sqrt{5}) - 1 = 84\sqrt{5} - 14 + 6\sqrt{5} - 1 = 90\sqrt{5}-15$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$, $a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$

(3) $90\sqrt{5} - 15$