問題は以下の通りです。 問題2: 以下の各連立方程式を、消去法により解け。 問題3: 次の行列の階数を求めよ。 問題4: 連立方程式が解を持つために定数 $s, t$ が満たすべき条件を求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

問題2: 以下の各連立方程式を、消去法により解け。

問題3: 次の行列の階数を求めよ。

問題4: 連立方程式が解を持つために定数 $s, t$ が満たすべき条件を求めよ。

2. 解き方の手順

問題2 (1):

連立方程式は次の通りです。

$3x + 4y = 5$

$2x + 5y = 1$

1番目の式を2倍、2番目の式を3倍すると、

$6x + 8y = 10$

$6x + 15y = 3$

これらを引くと、

$-7y = 7$

$y = -1$

$3x + 4(-1) = 5$

$3x - 4 = 5$

$3x = 9$

$x = 3$

問題2 (2):

連立方程式は次の通りです。

$2x + 3y + 7z = 9$

$x + 2y + 3z = 4$

$3x + 8y + 7z = 10$

2番目の式を2倍して1番目の式から引くと、

$(2x + 4y + 6z) - (2x + 3y + 7z) = 8 - 9$

$y - z = -1$

2番目の式を3倍して3番目の式から引くと、

$(3x + 6y + 9z) - (3x + 8y + 7z) = 12 - 10$

$-2y + 2z = 2$

$-y + z = 1$

$y - z = -1$ と $-y + z = 1$ より、これは不定解を持つことを意味する。

$y = z - 1$ を 2番目の式に代入すると、

$x + 2(z-1) + 3z = 4$

$x + 2z - 2 + 3z = 4$

$x + 5z = 6$

$x = 6 - 5z$

解は $(x, y, z) = (6 - 5z, z - 1, z)$

問題2 (3):

連立方程式は次の通りです。

$x - 3y - 4z = 2$

$2x - 6y - 8z = 4$

$3x - 9y - 12z = 6$

2番目の式は1番目の式の2倍、3番目の式は1番目の式の3倍なので、実質的に1つの式しかありません。

$x = 3y + 4z + 2$

解は $(x, y, z) = (3y + 4z + 2, y, z)$

問題3:

行列は次の通りです。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & -8 & 5 \\ 3 & 5 & 3 & -19 & 9 \\ 4 & 6 & 2 & -22 & 8 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の3倍を引き、3行目から1行目の4倍を引くと、

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & -8 & 5 \\ 0 & -1 & -3 & 5 & -6 \\ 0 & -2 & -6 & 10 & -12 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の2倍を引くと、

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & -8 & 5 \\ 0 & -1 & -3 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

階数は2です。

問題4:

連立方程式は次の通りです。

$x + 2y + z = 4$

$3x + 7y + 5z = 9$

$2x + 6y + sz = t$

1番目の式を3倍して2番目の式から引くと、

$(3x + 7y + 5z) - 3(x + 2y + z) = 9 - 3(4)$

$y + 2z = -3$

1番目の式を2倍して3番目の式から引くと、

$(2x + 6y + sz) - 2(x + 2y + z) = t - 2(4)$

$2y + (s - 2)z = t - 8$

$y = -3 - 2z$

$2(-3 - 2z) + (s - 2)z = t - 8$

$-6 - 4z + sz - 2z = t - 8$

$(s - 6)z = t - 2$

$s - 6 = 0$ かつ $t - 2 = 0$ のとき、解は無数に存在します。つまり、$s = 6$ かつ $t = 2$ のとき、解が存在します。

$s - 6 \ne 0$ のとき、$z = \frac{t - 2}{s - 6}$ となり、解が存在します。

したがって、解を持つための条件は、$s \ne 6$ または $t = 2$ です。言い換えると、$s=6$ならば$t=2$である必要があります。

3. 最終的な答え

問題2 (1): $(x, y) = (3, -1)$

問題2 (2): $(x, y, z) = (6 - 5z, z - 1, z)$

問題2 (3): $(x, y, z) = (3y + 4z + 2, y, z)$

問題3: 2

問題4: $s = 6$ ならば $t = 2$