$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ であり、$\tan \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan \beta = -3\sqrt{3}$ のとき、$\tan (\alpha + \beta)$ および角 $\alpha + \beta$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ であり、$\tan \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan \beta = -3\sqrt{3}$ のとき、$\tan (\alpha + \beta)$ および角 $\alpha + \beta$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\tan (\alpha + \beta)$ を求めるために、正接の加法定理を利用する。

$\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$

$\tan \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ と $\tan \beta = -3\sqrt{3}$ を代入する。

$\tan (\alpha + \beta) = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} - 3\sqrt{3}}{1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})(-3\sqrt{3})} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{6\sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{9}{2}} = \frac{-\frac{7\sqrt{3}}{2}}{-\frac{7}{2}} = \sqrt{3}$

次に、$\alpha$ と $\beta$ の範囲に注意して、$\alpha + \beta$ を求める。

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ かつ $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ であるから、$\pi < \alpha + \beta < 2\pi$ である。

$\tan (\alpha + \beta) = \sqrt{3}$ と $\pi < \alpha + \beta < 2\pi$ より、$\alpha + \beta$ は第3象限にある。

$\tan (\alpha + \beta) = \sqrt{3}$ を満たす $\alpha + \beta$ は $\frac{\pi}{3}$ または $\frac{4\pi}{3}$。$\pi < \alpha + \beta < 2\pi$ より、$\alpha + \beta = \frac{4\pi}{3}$ である。

3. 最終的な答え

$\tan (\alpha + \beta) = \sqrt{3}$

$\alpha + \beta = \frac{4\pi}{3}$