男子5人、女子4人の中から4人の委員を選ぶときの選び方について、以下の3つの場合を考えます。 (1) 選び方は全部で何通りあるか。 (2) 男子2人、女子2人を選ぶ方法は何通りあるか。 (3) 4人の委員の中に、女子が少なくとも1人入っている選び方は何通りあるか。

1. 問題の内容

男子5人、女子4人の中から4人の委員を選ぶときの選び方について、以下の3つの場合を考えます。

(1) 選び方は全部で何通りあるか。

(2) 男子2人、女子2人を選ぶ方法は何通りあるか。

(3) 4人の委員の中に、女子が少なくとも1人入っている選び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 全体の選び方

9人の中から4人を選ぶ組み合わせなので、組み合わせの公式を用います。

組み合わせの公式は ${}_n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ です。

${}_9 C_4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ 通り

(2) 男子2人、女子2人を選ぶ選び方

男子5人から2人を選ぶ組み合わせは ${}_5 C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り

女子4人から2人を選ぶ組み合わせは ${}_4 C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り

それぞれの組み合わせの積が、男子2人、女子2人を選ぶ場合の数なので、

$10 \times 6 = 60$ 通り

(3) 女子が少なくとも1人入っている選び方

全体の選び方から、女子が1人も入っていない選び方（つまり、男子のみ4人を選ぶ選び方）を引けば、少なくとも1人女子が入っている選び方が求められます。

男子5人から4人を選ぶ組み合わせは ${}_5 C_4 = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5}{1} = 5$ 通り

したがって、求める選び方は、全体の選び方 - 男子のみの選び方で計算できます。

$126 - 5 = 121$ 通り

3. 最終的な答え

(1) 126通り

(2) 60通り

(3) 121通り