ある人が電話をかける際、相手も同じ人に電話をかけていて「話し中」になる確率が0.03%である。1000回の電話のうち、そのような状況が2回起こる確率を小数点以下第2位まで求める。

1. 問題の内容

ある人が電話をかける際、相手も同じ人に電話をかけていて「話し中」になる確率が0.03%である。1000回の電話のうち、そのような状況が2回起こる確率を小数点以下第2位まで求める。

2. 解き方の手順

この問題は二項分布の問題として考えることができます。

1回の試行で「話し中」になる確率 $p$ は $0.03\% = 0.0003$ です。

試行回数 $n$ は $1000$ 回です。

成功回数 $k$ は $2$ 回です。

二項分布の確率質量関数は以下の通りです。

$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

この問題の場合、$n=1000$, $k=2$, $p=0.0003$ なので、

$P(X=2) = \binom{1000}{2} (0.0003)^2 (1-0.0003)^{1000-2}$

$\binom{1000}{2} = \frac{1000!}{2!(1000-2)!} = \frac{1000 \times 999}{2 \times 1} = 500 \times 999 = 499500$

$(0.0003)^2 = 0.00000009 = 9 \times 10^{-8}$

$(1-0.0003)^{998} = (0.9997)^{998} \approx e^{-0.0003 \times 998} \approx e^{-0.2994} \approx 0.7412$

したがって、

$P(X=2) = 499500 \times 9 \times 10^{-8} \times 0.7412 \approx 0.03336657$

小数点以下第2位まで求めるので、四捨五入して$0.03$ となります。

3. 最終的な答え

0.03