$x \to \infty$ のとき、$\sqrt{4x^2 + ax} \approx 2x$ である。$\sqrt{4x^2 + ax} - bx \approx (2-b)x$ となるとき、極限値が有限の値になるためには $b$ はどのような値である必要があるか。この問題文から、$b=2$ であることが結論付けられています。この結論が正しいことを確認します。

1. 問題の内容

$x \to \infty$ のとき、$\sqrt{4x^2 + ax} \approx 2x$ である。$\sqrt{4x^2 + ax} - bx \approx (2-b)x$ となるとき、極限値が有限の値になるためには $b$ はどのような値である必要があるか。この問題文から、$b=2$ であることが結論付けられています。この結論が正しいことを確認します。

2. 解き方の手順

$\sqrt{4x^2 + ax} - bx$ の極限を考えます。まず、$\sqrt{4x^2 + ax}$ を $2x$ で近似することから始めます。

$\sqrt{4x^2 + ax} - bx = \sqrt{4x^2 + ax} - 2x + (2-b)x$と変形します。

ここで、$x \to \infty$のとき、$\sqrt{4x^2 + ax} - 2x$が有限の値に収束する必要があります。

$\sqrt{4x^2 + ax} - 2x = \frac{(\sqrt{4x^2 + ax} - 2x)(\sqrt{4x^2 + ax} + 2x)}{\sqrt{4x^2 + ax} + 2x} = \frac{4x^2 + ax - 4x^2}{\sqrt{4x^2 + ax} + 2x} = \frac{ax}{\sqrt{4x^2 + ax} + 2x} = \frac{ax}{x\sqrt{4 + a/x} + 2x} = \frac{a}{\sqrt{4 + a/x} + 2}$

$x \to \infty$のとき、$\sqrt{4 + a/x} \to \sqrt{4} = 2$ となるので、

$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{4x^2 + ax} - 2x) = \frac{a}{2+2} = \frac{a}{4}$

これは有限の値です。

したがって、$\sqrt{4x^2 + ax} - bx = \sqrt{4x^2 + ax} - 2x + (2-b)x$ において、$\sqrt{4x^2 + ax} - 2x$ は $x \to \infty$ で有限の値 $\frac{a}{4}$ に収束します。

このとき、$\sqrt{4x^2 + ax} - bx$ が有限の値に収束するためには、$(2-b)x$ が $x \to \infty$ で $0$ に収束する必要があります。つまり、$2-b = 0$ である必要があります。

したがって、$b = 2$ です。

3. 最終的な答え

$b = 2$