次の3つの定積分を計算します。 (i) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \sin x \, dx$ (ii) $\int_0^1 \frac{1}{x^2 - 5x + 6} \, dx$ (iii) $\int_1^3 (|x-2| + |x-4|) \, dx$

1. 問題の内容

次の3つの定積分を計算します。

(i) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \sin x \, dx$

(ii) $\int_0^1 \frac{1}{x^2 - 5x + 6} \, dx$

(iii) $\int_1^3 (|x-2| + |x-4|) \, dx$

2. 解き方の手順

(i) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \sin x \, dx$

部分積分を2回繰り返します。

$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \sin x \, dx$ とします。

1回目の部分積分：

$u = \sin x$, $dv = e^x dx$ とすると, $du = \cos x \, dx$, $v = e^x$

$I = [e^x \sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \cos x \, dx = e^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \cos x \, dx$

2回目の部分積分：

$u = \cos x$, $dv = e^x dx$ とすると, $du = -\sin x \, dx$, $v = e^x$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \cos x \, dx = [e^x \cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \sin x \, dx = -1 + I$

したがって, $I = e^{\frac{\pi}{2}} - (-1 + I) = e^{\frac{\pi}{2}} + 1 - I$

$2I = e^{\frac{\pi}{2}} + 1$, $I = \frac{e^{\frac{\pi}{2}} + 1}{2}$

(ii) $\int_0^1 \frac{1}{x^2 - 5x + 6} \, dx$

被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{1}{x^2 - 5x + 6} = \frac{1}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}$

$1 = A(x-3) + B(x-2)$

$x=2$ のとき $1 = -A$, $A = -1$

$x=3$ のとき $1 = B$, $B = 1$

$\frac{1}{x^2 - 5x + 6} = \frac{-1}{x-2} + \frac{1}{x-3}$

$\int_0^1 \frac{1}{x^2 - 5x + 6} \, dx = \int_0^1 \left(\frac{-1}{x-2} + \frac{1}{x-3}\right) dx = [-\ln|x-2| + \ln|x-3|]_0^1 = [\ln|\frac{x-3}{x-2}|]_0^1 = \ln 2 - \ln \frac{3}{2} = \ln 2 - (\ln 3 - \ln 2) = 2\ln 2 - \ln 3 = \ln \frac{4}{3}$

(iii) $\int_1^3 (|x-2| + |x-4|) \, dx$

$|x-2|$ は $x=2$ で符号が変わり, $|x-4|$ は $x=4$ で符号が変わります。積分範囲は $1 \le x \le 3$ なので, $x=2$ で積分範囲を分割します。

$\int_1^3 (|x-2| + |x-4|) \, dx = \int_1^2 (-(x-2) + (4-x)) \, dx + \int_2^3 ((x-2) + (4-x)) \, dx$

$= \int_1^2 (6-2x) \, dx + \int_2^3 2 \, dx = [6x - x^2]_1^2 + [2x]_2^3 = (12-4) - (6-1) + (6-4) = 8 - 5 + 2 = 5$

3. 最終的な答え

(i) $\frac{e^{\frac{\pi}{2}} + 1}{2}$

(ii) $\ln \frac{4}{3}$

(iii) $5$