$X \subset \mathbb{R}^N$ を凸集合とし、2つの関数 $f: X \rightarrow \mathbb{R}$, $g: X \rightarrow \mathbb{R}$ と2つの正の実数 $a, b \in \mathbb{R}_{++}$ を考える。$f$ と $g$ がともに凹関数であるならば、$h(x) = af(x) + bg(x)$ で定められる関数 $h: X \rightarrow \mathbb{R}$ も凹関数であることを示せ。

1. 問題の内容

$X \subset \mathbb{R}^N$ を凸集合とし、2つの関数 $f: X \rightarrow \mathbb{R}$, $g: X \rightarrow \mathbb{R}$ と2つの正の実数 $a, b \in \mathbb{R}_{++}$ を考える。$f$ と $g$ がともに凹関数であるならば、$h(x) = af(x) + bg(x)$ で定められる関数 $h: X \rightarrow \mathbb{R}$ も凹関数であることを示せ。

2. 解き方の手順

関数 $f$ が凹関数であるとは、任意の $x, y \in X$ と任意の $t \in [0, 1]$ に対して、

$f(tx + (1-t)y) \geq tf(x) + (1-t)f(y)$ が成り立つことである。

$f$ と $g$ が凹関数であるという仮定から、任意の $x, y \in X$ と任意の $t \in [0, 1]$ に対して、

$f(tx + (1-t)y) \geq tf(x) + (1-t)f(y)$

$g(tx + (1-t)y) \geq tg(x) + (1-t)g(y)$

が成り立つ。

$h(x) = af(x) + bg(x)$ と定義されているので、$h(tx + (1-t)y)$ を計算する。

$h(tx + (1-t)y) = af(tx + (1-t)y) + bg(tx + (1-t)y)$

$f$ と $g$ は凹関数なので、

$h(tx + (1-t)y) \geq a(tf(x) + (1-t)f(y)) + b(tg(x) + (1-t)g(y))$

$= atf(x) + a(1-t)f(y) + btg(x) + b(1-t)g(y)$

$= t(af(x) + bg(x)) + (1-t)(af(y) + bg(y))$

$= t h(x) + (1-t)h(y)$

したがって、$h(tx + (1-t)y) \geq th(x) + (1-t)h(y)$ が成り立つので、$h$ は凹関数である。

3. 最終的な答え

関数 $h(x) = af(x) + bg(x)$ は凹関数である。